[論文レビュー] Quasi-stationarity for population diffusion processes

Patrick Cattiaux, Pierre Collet+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、原点で $-\infty$ に発散するドリフトと $+\infty$ に到達境界をもつ、広範なクラスのコルモゴロフ拡散過程における、非定常分布の存在、一意性、および収束に関する十分条件を確立する。 killed過程の $L^2$ 上のスペクトル理論を用いて、非定常分布が存在し、かつ一意であるための必要十分条件は $+\infty$ が到達境界であることであり、条件付き時間発展のもとで確率的収束が成立することを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study quasi-stationarity for a large class of Kolmogorov diffusions. The main novelty here is that we allow the drift to go to $- \infty$ at the origin, and the diffusion to have an entrance boundary at $+\infty$. These diffusions arise as images, by a deterministic map, of generalized Feller diffusions, which themselves are obtained as limits of rescaled birth--death processes. Generalized Feller diffusions take nonnegative values and are absorbed at zero in finite time with probability 1. An important example is the logistic Feller diffusion. We give sufficient conditions on the drift near 0 and near $+ \infty$ for the existence of quasi-stationary distributions, as well as rate of convergence in the Yaglom limit and existence of the $Q$-process. We also show that under these conditions, there is exactly one quasi-stationary distribution, and that this distribution attracts all initial distributions under the conditional evolution, if and only if $+\infty$ is an entrance boundary. In particular this gives a sufficient condition for the uniqueness of quasi-stationary distributions. In the proofs spectral theory plays an important role on $L^2$ of the reference measure for the killed process.

研究の動機と目的

• 原点で特異なドリフトと無限大に到達境界をもつ、一般クラスのコルモゴロフ拡散過程における非定常性の分析。
• 非定常分布の存在を保証する、原点付近および $+\infty$ におけるドリフトの振る舞いに関する十分条件の特定。
• ヤグロフ極限における収束速度の特定および $Q$-過程の存在の確立。
• 非定常分布の一意性が $+\infty$ が到達境界であるときにかつそのときにのみ成立することの証明。
• $+\infty$ が到達境界であるとき、すべての初期分布が条件付き時間発展のもとで唯一の非定常分布に吸引されることの示唆。

提案手法

• killed過程の参照測度に関する $L^2$ 上のスペクトル理論を用いて、拡散過程の生成作用素を分析する。
• ドリフトの原点付近および $+\infty$ における振る舞いを分析し、特に原点で $-\infty$ に発散するドリフトを許容する。
• 拡散過程と一般化されたフェラー拡散過程との関係を用いる。一般化されたフェラー拡散過程は、スケーリングされた出生死滅過程の極限として得られる。
• 元の過程を決定的写像で変換することで、非負値をとり原点で吸収される一般化されたフェラー拡散過程と関連付ける。
• 非定常分布の存在を保証するのと同じ条件下で $Q$-過程の存在を確立する。
• 一意性および収束の証明は、尺度関数の構造と拡散過程の境界分類に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点付近および $+\infty$ におけるドリフトのどの条件下で、コルモゴロフ拡散過程に非定常分布が存在するか。
• RQ2 非定常分布の一意性はいつ成立し、その一意性条件はどのように特徴づけられるか。
• RQ3 ヤグロフ極限における非定常分布への収束速度は何か。
• RQ4 $Q$-過程はいつ存在し、非定常分布とどのように関係するか。
• RQ5 唯一の非定常分布が、条件付き時間発展のもとですべての初期分布を吸引するのはどのような条件下か。

主な発見

• ドリフトが原点で十分に特異的であり、$+\infty$ で到達境界をもつ場合、非定常分布が存在する。
• 非定常分布が一意であるための必要十分条件は $+\infty$ が到達境界であることである。
• $+\infty$ が到達境界であるとき、唯一の非定常分布は、条件付き時間発展のもとですべての初期分布を吸引する。
• ヤグロフ極限における収束速度は、$L^2$ 上の killed過程生成作用素のスペクトルギャップによって特徴づけられる。
• $Q$-過程は、非定常分布の存在を保証するのと同じ条件下で存在する。
• killed過程の参照測度に関する $L^2$ 上のスペクトル理論は、存在、一意性、収束に関する結果を証明するために不可欠である。