[論文レビュー] Quasi-sure convergence theorem in p-variation distance for Gaussian sample paths

Horatio Boedihardjo, Xi Geng+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、長記憶ガウス過程に関連する幾何学的粗い経路のマルリヴィン型準確確率的バージョンを構築することにより、ガウス標本経路におけるp-変動距離における準確確率的収束定理を確立する。リオンズの普遍極限定理と容量に関する大偏差原理を用いて、このような過程によって駆動される確率微分方程式の経路ごとの大偏差結果を導出し、ヨシダの抽象ウィーナー空間上の大偏差原理を拡張する。

ABSTRACT

We construct a quasi-sure version (in the sense of Malliavin) of geometric rough paths associated with a Gaussian process with long-time memory. As an application we establish a large deviation principle (LDP) for capacities for such Gaussian rough paths. Together with Lyons' universal limit theorem, our results yield immediately the corresponding results for pathwise solutions to stochastic differential equations driven by such Gaussian process in the sense of rough paths. Moreover, our LDP result implies the result of Yoshida on the LDP for capacities over the abstract Wiener space associated with such Gaussian process.

研究の動機と目的

• マルリヴィン計算を用いて、長距離依存性を示すガウス過程のための幾何学的粗い経路の準確確率的バージョンを開発すること。
• このようなガウス的粗い経路に関連する容量のための大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 容量に基づく解析を通じて、抽象ウィーナー空間上のヨシダのLDPを粗い経路設定に拡張すること。
• LDPを、長記憶ガウス過程によって駆動される確率微分方程式の経路ごとの解に応用すること。

提案手法

• マルリヴィン計算技術を用いて、準確確率的バージョンの幾何学的粗い経路を構築すること。
• p-変動距離を用いて、ガウス標本経路の収束を分析すること。
• 粗い経路空間上の容量に関する大偏差原理を導出すること。
• リオンズの普遍極限定理を用いて、LDPの結果を確率微分方程式の経路ごとの解に移行すること。
• 導出されたLDPを、抽象ウィーナー空間枠組みにおけるヨシダの結果と比較すること。
• 非マルコフ的かつ長記憶的構造を持つガウス過程を取り扱うために、容量に基づく解析を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長記憶ガウス過程に対して、マルリヴィン計算を用いて、幾何学的粗い経路の準確確率的バージョンをどのように構築できるか。
• RQ2 p-変動距離におけるこのようなガウス的粗い経路に関連する容量に対して、どのような大偏差原理が成立するか。
• RQ3 導出されたLDPは、抽象ウィーナー空間上でのヨシダのLDPとどのように関係するか。
• RQ4 これらの過程によって駆動される確率微分方程式の経路ごとの解が、大偏差行動をどの程度継承するか。
• RQ5 リオンズの普遍極限定理は、容量に基づく解析を通じて、LDPの結果を確率微分方程式の解に効果的に移行するために適用可能か。

主な発見

• マルリヴィン計算を用いて、長記憶ガウス過程のための幾何学的粗い経路の準確確率的バージョンが成功裏に構築された。
• ガウス過程の粗い経路への持ち上げに関して、p-変動距離における容量の大偏差原理が確立された。
• 導出された容量のためのLDPは、ヨシダの抽象ウィーナー空間上の大偏差原理を含意しており、彼の結果を一般化している。
• 容量の大偏差原理により、リオンズの普遍極限定理を適用して、ガウス過程によって駆動される確率微分方程式の経路ごとの大偏差結果を得ることができた。
• 本研究の結果は、長距離依存性下での粗い経路的意味での確率微分方程式の経路ごとの解を分析するための強固な枠組みを提供する。