[論文レビュー] Quasianalytic polynomially bounded operators

László Kérchy|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、不変部分空間問題と超不変部分空間問題の中心的役割を果たす準解析的収縮作用素の理論を、多項式有界作用素のより広いクラスへ拡張する。ユニタリ漸近的近似とこの文脈における$H^\infty$関数計算を導入することで、残留集合$\omega(T)$と準解析的スペクトル集合$\pi(T)$が一致する（すなわち、準解析的である）場合、超不変部分空間が存在することを示し、スペクトル集合が一致するとき、制限および直交和において準解析的性質が保たれることを証明する。

ABSTRACT

Quasianalytic contractions form the crucial class in the quest for proper invariant and hyperinvariant subspaces for asymptotically non-vanishing Hilbert space contractions. The property of quasianalycity relies on the concepts of unitary asymptote and $H^ı$-functional calculus. These objects can be naturally defined in the setting of polynomially bounded operators too, which makes possible to extend the study of quasianalycity from contractions to this larger class. Carrying out this program we pose also several interesting questions.

研究の動機と目的

• 準解析的収縮作用素の理論——超不変部分空間問題の鍵となる——を収縮作用素の範囲を越えて、より広い多項式有界作用素のクラスへ拡張すること。
• 多項式有界作用素の文脈において、ユニタリ漸近的近似と$H^\infty$関数計算を定義すること。
• 準解析的性質（残留集合$\omega(T)$と準解析的スペクトル集合$\pi(T)$が一致する）が非自明な超不変部分空間の存在を示す条件を確立すること。
• 制限、直交和、準同型変換などの操作における準解析的性質の保存を調査すること。
• 残留集合$\omega(T) = \mathbb{T}$または準解析的スペクトル集合$\pi(T) = \mathbb{T}$を満たす作用素に対して、シフト型不変部分空間の存在や非収縮的モデルの存在に関する未解決の問題を提示すること。

提案手法

• カテゴリカルな枠組みを用いて、多項式有界作用素に対するユニタリ漸近的近似を導入し、収縮作用素の場合の一般化を行う。
• バナッハ極限を用いて、べき有界な設定におけるユニタリ漸近的近似の存在を証明する。
• MlakのLebesgue型分解理論を適用し、多項式有界作用素を絶対連続部と特異部の直和に分解する。
• 局所的残留集合$\omega(T,x)$と単調でない数列を用いて、残留集合$\omega(T)$と準解析的スペクトル集合$\pi(T)$を定義する。
• 絶対連続な多項式有界作用素に対して$H^\infty$関数計算を確立し、それが存在するための必要十分条件が作用素が絶対連続であることであることを示す。
• 相互作用関係と可換子写像を用いて、制限および和の下での類似性とスペクトル不変性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式有界作用素が、$\omega(T) = \pi(T)$によって定義される準解析的であるとは、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 多項式有界作用素が準解析的である場合、非自明な超不変部分空間が存在するか？
• RQ3 直交和および不変部分空間への制限において、準解析的性質はどのように保存されるか？
• RQ4 残留集合$\omega(T) = \mathbb{T}$または準解析的スペクトル集合$\pi(T) = \mathbb{T}$を満たす任意の多項式有界作用素は、収縮作用素に類似する部分に分解可能か？
• RQ5 残留集合$\omega(T) = \mathbb{T}$を満たす非収縮的で絶対連続な多項式有界作用素は存在するか？

主な発見

• 多項式有界作用素$T$が準解析的であるための必要十分条件は、$\omega(T) = \pi(T)$であること。ここで$\omega(T)$は残留集合、$\pi(T)$は準解析的スペクトル集合である。
• 作用素$T$が準解析的かつ絶対連続であるならば、$T$はクラス$C_{10}$に属する。すなわち、$\mathcal{H}_0(T) = \{0\}$かつ$\mathcal{H}_0(T^*) = \mathcal{H}$である。
• 非単調な$H^\infty$内の数列を用いた一般化により、準解析的スペクトル集合$\pi(T)$を特徴づけることができる。
• 非ゼロの不変部分空間への制限において、準解析的性質は保存される。すなわち、$T$が準解析的で$\mathcal{M} \in \text{Lat}\,T$ならば、$T|\mathcal{M}$もまた準解析的であり、$\pi(T|\mathcal{M}) = \pi(T)$が成り立つ。
• 直交和$T = T_1 \oplus T_2$に対して、$T$が準解析的であるための必要十分条件は、$T_1$と$T_2$がともに準解析的であり、さらに$\pi(T_1) = \pi(T_2)$が成り立つことである。
• すべての特異的多項式有界作用素は、そのユニタリ漸近的近似に類似しており、絶対連続性は準同型変換のもとで保存される。