[論文レビュー] Quasiclassical and Quantum Systems of Angular Momentum. Part II. Quantum Mechanics on Lie Groups and Methods of Group Algebras

Jan J. Sławianowski, Vasyl Kovalchuk+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、特にSU(2)およびSO(3)を含むリー群構造を用いて、角運動量系の準古典的および量子的枠組みを構築する。量子力学をリー群上で群代数および微分幾何学を用いて定式化し、群の畳み込みがモーヤル星積を近似する準古典的極限を導出。主な貢献は、リー代数生成子とカルタン計量を用いて表される量子ポアソン括弧が得られることである。

ABSTRACT

In Part I of this series we presented the general ideas of applying group-algebraic methods for describing quantum systems. The treatment was there very "ascetic" in that only the structure of a locally compact topological group was used. Below we explicitly make use of the Lie group structure. Basing on differential geometry enables one to introduce explicitly representation of important physical quantities and formulate the general ideas of quasiclassical representation and classical analogy.

研究の動機と目的

• リー群の微分的および代数的構造を活用して、角運動量の準古典的および量子的力学を拡張すること。
• 特にSU(2)およびSO(3)を含むコンパクトなリー群上での量子系の厳密な数学的枠組みを、左/右不変ベクトル場および群代数作用素を用いて確立すること。
• コンパクトなリー群上での量子畳み込み積の準古典的近似を、指数写像を介してリー代数上の畳み込みに結びつけること。
• 群座標(k^a)とリー代数座標(ω^a)の関係を明らかにし、準古典的極限においてそれらが漸近的に等価であることを示すこと。
• 本形式における量子ポアソン括弧がリー代数の交換関係構造に還元され、一次近似でウェイル＝モーヤル星積を回復することを示すこと。

提案手法

• 群Gのリー代数G′からの指数写像を用いて、第一種(k^a)および第二種(ξ^a)の正規座標を導入する。
• 左および右不変ベクトル場L_aおよびR_aをG上で定義し、それらが構造定数C^k_abを含む交換関係を満たすことを示す。
• 随伴表現のトレースを用いてリー代数G′上にカルタン計量γ_abを定義し、γ_ab = C^k_la C^l_kbとし、半単純群ではδ_abに正規化する。
• 内部自己同型を生成する微分作用素A_aを構成し、[A_a, A_b] = C^k_ab A_kを満たし、星積を介して量子ポアソン括弧を定義する。
• 群代数の要素を高量子数（多数のノード）を持つものに制限する準古典的切断手続きを適用し、関数が群の単位元付近に局在化することを保証する。
• 群畳み込み∗_Gを、リー代数上のアーベル畳み込み∗_G′の変形として近似し、F ∗_G H ≈ F ∗_G′ H + (iħ/2)[F, H]を得る。ここで[F, H]はリー括弧である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群上での量子力学を、群代数および微分幾何学を用いて体系的に定式化する方法は何か？
• RQ2 準古典的極限において、群座標k^aとリー代数座標ω^aの正確な関係は何か？
• RQ3 コンパクトなリー群上での群畳み込み積は、どのようにして準古典的領域でモーヤル星積を近似するか？
• RQ4 この形式における量子ポアソン括弧の代数的構造は何か？また、リー代数の交換関係とはどのように関係するか？
• RQ5 関数が群多様体上で定義されたものであるが、準古典的極限において、それらがどのようにしてリー代数上で定義された関数として有効に扱えるか？

主な発見

• コンパクトなリー群G上での群代数畳み込みの準古典的極限は、リー代数G′上でのアーベル畳み込みの変形として近似可能であり、一次補正は(iħ/2)[F, H]で与えられる。
• 量子ポアソン括弧は、準古典的領域においてリー代数の交換関係[F, H]と同型であり、{F, H}_q ≈ (1/iħ)(F ∗_G H - H ∗_G F) ≈ [F, H]が成り立つ。
• 高ノード数の不変部分表現（ε(α)_{ij}でαが大きいもの）の重ね合わせであるG上の関数は、指数写像による単位元付近の局在化により、G′上の関数として有効に表現可能である。
• 正規座標k^aとω^aの使用により、k^aはG上の局所座標であるのに対し、ω^aはベクトル空間G′上のグローバル線形座標であるという微妙な違いが明らかになるが、準古典的極限ではこれらは等価となる。
• 形式は一次近似でウェイル＝モーヤル星積を回復し、従来の準古典的量子化手法と整合性を保つ。
• コンパクトな半単純群では、リー代数上のカルタン計量γ_abは負定値であり、δ_abへの正規化は代数的構造を単純化するが、一般性を失わない。