[論文レビュー] Quasicoherent sheaves on complex noncommutative two-tori

Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Jun 28, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素非可換2次トーラス上の擬coherent層を、正則ベクトル bundle の ind-対象として定義し、そのような層の導来圏と、それに対応する楕円曲線上の擬coherent層の導来圏との間の同値性を確立する。さらに、ランク0の捩れ層の部分カテゴリを除いた商カテゴリは、半完備代数上の有限生成加群のカテゴリと同値であり、その射影的対象は実数値ランクによって一意に分類される。

ABSTRACT

We introduce the notion of a quasicoherent sheaf on a complex noncommutative two-torus $T$ as an ind-object in the category of holomorphic vector bundles on $T$. Extending the results of math.QA/0211262 and math.QA/0308136 we prove that the derived category of quasicoherent sheaves on $T$ is equivalent to the derived category of usual quasicoherent sheaves on the corresponding elliptic curve. We define the rank of a quasicoherent sheaf that can take arbitrary nonnegative real values. We study the category $\Qcoh(η_T)$ obtained by taking the quotient of the category of quasicoherent sheaves by the subcategory of objects of rank zero (called torsion sheaves). We show that projective objects of finite rank in $\Qcoh(η_T)$ are classified up to an isomorphism by their rank. We also prove that the subcategory of objects of finite rank in $\Qcoh(η_T)$ is equivalent to the category of finitely presented modules over a semihereditary algebra.

研究の動機と目的

• 複素非可換2次トーラス T 上の擬coherent層を、正則ベクトル bundle のカテゴリにおける ind-対象として定義し、それらを研究すること。
• 非可換トーラス上の擬coherent層の導来圏と、それに対応する楕円曲線上の通常の擬coherent層の導来圏との間の導来同値性を確立すること。
• 擬coherent層に非負実数および +∞ を値とするランク関数を定義し、それを導来不変量に拡張すること。
• ランク0の捩れ層を除いた商カテゴリ Qcoh(η_T) を分析し、その有限ランク射影的対象を分類すること。
• Qcoh(η_T) 内の有限ランク対象の全部分カテゴリが、半完備代数上の有限生成加群のカテゴリと同値であることを示すこと。

提案手法

• 複素非可換2次トーラス T 上の擬coherent層を、T 上の正則ベクトル bundle のカテゴリにおける ind-対象として定義する。
• T 上の擬coherent層のカテゴリ Qcoh(T) を、複素構造に対応する微分作用素 δ_τ の持ち上げを備えた正則加群のフル部分カテゴリとして実現する。
• D^b(Qcoh(T)) が楕円曲線 E = C/(Z + Zτ) の D^b(Qcoh(E)) と同値であることを証明し、ベクトル bundle に関する先行結果を拡張する。
• 正則ベクトル bundle の実数値ランクを一般化し、R≥0 ∪ {+∞} を値域とする擬coherent層上のランク関数を導入する。
• ランク0のものを捩れ層と定義し、商カテゴリ Qcoh(η_T) = Qcoh(T)/Tors を構成する。
• 有限ランクの擬ベクトル bundle P に対して、関手 X ↦ Hom(P, X) を用いて、Qcoh^f(η_T) と R_P = End_{Qcoh(η_T)}(P) 上の有限生成加群のカテゴリとの同値性を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル bundle のカテゴリに可換な捩れ層が存在しないにもかかわらず、複素非可換2次トーラス上に擬coherent層を意味的に定義する方法は何か？
• RQ2 非可換2次トーラス上の擬coherent層の導来圏の構造は何か？ また、それに対応する楕円曲線上の擬coherent層の導来圏とはどのように関係するか？
• RQ3 非可換トーラス上の正則ベクトル bundle のランクを、擬coherent層のカテゴリ上でwell-defined かつ加法的なランク関数に拡張できるか？
• RQ4 ランク0の捩れ層を除いた商カテゴリ Qcoh(η_T) の構造は何か？ また、その射影的対象はどのように分類されるか？
• RQ5 η_T 上の有限ランク擬coherent層のカテゴリは、半完備環上の有限生成加群のカテゴリと同値であるか？

主な発見

• 複素非可換2次トーラス T 上の擬coherent層の導来圏は、それに対応する楕円曲線 E の擬coherent層の導来圏と同値である。
• T 上の擬coherent層のランクは、R≥0 ∪ {+∞} のすべての値をとる加法的関数に拡張可能であり、正則ベクトル bundle の実数値ランクを一般化する。
• ランク0の捩れ層は存在し、非自明なSerre部分カテゴリをなす。商カテゴリ Qcoh(η_T) は、可換幾何における一般点上の層のカテゴリに類似している。
• Qcoh(η_T) 内の有限ランク射影的対象は、実数値ランクによって一意に分類され、非負実数であれば任意の値を取り得る。
• Qcoh^f(η_T) の全部分カテゴリは、任意の有限ランクの擬ベクトル bundle P に対して、半完備代数 R_P 上の有限生成加群のカテゴリと同値である。
• Qcoh^f(η_T) 内のすべての対象は射影次元 ≤1 を持ち、すべての有限生成 R_P 加群は、ある X ∈ Qcoh^f(η_T) に対して Hom(P, X) として現れる。