[論文レビュー] Quasicrystals: algebraic, combinatorial and geometrical aspects

Edita Pelantová, Zuzana Masáková|ArXiv.org|Mar 26, 2006

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1次元準結晶をカットアンドプロジェクト集合と無限語の組合せ論を用いて調査し、それらの構造が原始的置換に関して不変である条件を確立する。主な貢献は、2文字アルファベット上での置換不変機械的語の完全な特徴付けを、ステルム数および代数的数体を用いて行うことである。

ABSTRACT

The paper presents mathematical models of quasicrystals with particular attention given to cut-and-project sets. We summarize the properties of higher-dimensional quasicrystal models and then focus on the one-dimensional ones. For the description of their properties we use the methods of combinatorics on words.

研究の動機と目的

• カットアンドプロジェクト集合とそれらの無限語への関連を用いて1次元準結晶モデルを分析すること。
• これらの無限語の組合せ論的および代数的性質、特に置換不変性を調査すること。
• 機械的語（無限語の一種）が原始的置換に関して不変であるための必要十分条件を特定すること。
• 2文字アルファベットから3文字アルファベットへの結果の一般化を図り、二次無理数およびガロア自己同型の役割を検討すること。
• 幾何的準結晶モデルと代数的数論および記号的力学系を結びつけること。

提案手法

• 高次元格子と有理数射影を用いて1次元準結晶をカットアンドプロジェクト集合として構成する。
• 得られた系列を、無理数の傾きαと切片βを用いた機械的語の構成により、有限アルファベット上の無限語としてモデル化する。
• 因子複雑性、回文複雑性、一様再帰性に注目した語の組合せ論を適用する。
• 置換不変性を用いて長距離秩序を分析し、密度計算にためのインcidenc行列およびそのペロン固有ベクトルを活用する。
• 特に二次体Q(α)上のガロア自己同型を用いて、置換不変性を特徴付ける代数的数論を適用する。
• 均一分布および長距離秩序を保証するため、メイアーセットおよびデローネセットの概念を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元のカットアンドプロジェクト集合が原始的置換に関して不変である条件は何か？
• RQ2 傾きαと切片βのどのような代数的性質が、機械的語における置換不変性を決定づけるか？
• RQ3 因子複雑性と回文複雑性は、準結晶モデルの構造とどのように関係するか？
• RQ4 二次無理数およびその共役は、置換不変無限語において果たす役割は何か？
• RQ5 3文字アルファベットのカットアンドプロジェクト語の置換不変性は完全に特徴付け可能か？また、2文字の場合とはどのように異なるか？

主な発見

• 傾きα ∈ (0,1) の均一な機械的語が置換不変であるための必要十分条件は、αがステルム数、すなわちその共役α′ ∉ (0,1) であることであり、これは二次無理数である。
• 非均一な機械的語では、置換不変性が成立するための必要十分条件は、αがステルム数であること、β ∈ ℚ[α] であること、およびガロア自己同型の下でα′を用いた特定の不等式をβ′が満たすことである。
• 置換不変無限語における各文字の密度は、転置インシデント行列のペロン固有ベクトルの正規化された成分で与えられる。
• 3文字アルファベット上での置換不変カットアンドプロジェクト語は、すべての傾きεが二次無理数であり、区間の端点c, d ∈ ℚ(ε) である必要がある。
• 因子複雑性はC(n) ≤ K₁n、回文複雑性はP(n) ≤ K₂（ある定数K₁, K₂について）で有界であり、これは準周期的系列に特徴的な低複雑性を示している。
• 理論は高次元へ一般化可能であり、2次元ステルム数列およびその複雑性概念は適切に定義され、研究されている。