[論文レビュー] Quasihyperbolic metric and Möbius transformations

Riku Klén, Матти Вуоринен+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2011

Analytic and geometric function theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、n次元単位球体 $\mathbb{R}^n$ 内の Möbius 変換における準双曲的距離の鋭い不等式を確立し、変換が点 $a$ を固定する場合、距離の変形が $1+|a|$ および $1/(1+|a|)$ で有界であることを証明する。さらに、準正則写像の下での鋭い準不変性性質を証明し、準双曲的距離と他の距離（双曲的距離、弦的距離）との間の明示的評価を得る。

ABSTRACT

An improved version of quasiinvariance property of the quasihyperbolic metric under Möbius transformations of the unit ball in ${\mathbb R}^n, n \ge 2,$ is given. Next, a quasiinvariance property, sharp in a local sense, of the quasihyperbolic metric under quasiconformal mappings is proved. Finally, several inequalities between the quasihyperbolic metric and other commonly used metrics such as the hyperbolic metric of the unit ball and the chordal metric are established.

研究の動機と目的

• 単位球体 $\u005cmathbb{B}^n$ 内の Möbius 変換における準双曲的距離の既知の準不変性性質の改善。
• 準正則写像の下での準双曲的距離の鋭い局所的準不変性性質の確立。
• 単位球体の双曲的距離および弦的距離と比較する明示的不等式の導出。
• 空間 $\mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ 内で弦的距離と準双曲的距離の比較における最適定数に関する未解決問題の解決。

提案手法

• 点 $a$ を固定する $\mathbb{B}^n$ の自己 Möbius 写像について、距離歪みの改良された準不変性推定を証明し、$1+|a|$ および $1/(1+|a|)$ の有界性を示す。
• K-準正則写像のためのシュワルツの補題および準対称関数の明示的鋭い評価を用いて、準不変性結果を導出する。
• 距離比距離 $j_D(x,y) = \log\left(1 + \frac{|x-y|}{\min\{d(x),d(y)\}}\right)$ を、準双曲的距離の評価のための比較手段として用いる。
• $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 内での準双曲的距離の既知の明示的公式 $k_{\mathbb{R}^n \setminus \{0\}}(x,y) = \sqrt{\theta^2 + \log^2(|x|/|y|)}$ を用いる。ここで $\theta$ は原点における角である。
• 弦的距離 $q(x,y) = \frac{|x-y|}{\sqrt{(1+|x|^2)(1+|y|^2)}}$（$x,y \neq \infty$）を用い、その準双曲的距離との上限比を導出する。
• 技術的補題を用いて $\frac{(r+s+a)^2}{(1+r^2)(1+s^2)}$ を最大化し、$\left(\frac{a + \sqrt{4+a^2}}{2}\right)^2$ を得て、比 $q(x,y)/k_G(x,y)$ を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位球体の Möbius 変換における準双曲的距離の準不変性における最適定数は何か？
• RQ2 準正則写像の下で、準双曲的距離の鋭い局所的準不変性性質を確立できるか？
• RQ3 すべての $x,y \in \mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ に対して $q(x,y) \leq c \cdot k_G(x,y)$ が成り立つような最良の定数 $c$ は何か？
• RQ4 穴あき空間 $\mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ において、準双曲的距離と弦的距離はどのように比較できるか？
• RQ5 Möbius 写像における古典的準不変性評価の定数 $2$ は鋭いのか、それとも改善可能か？

主な発見

• Möbius 写像 $h$ が $h(a) = 0$ を満たすとき、単位球体 $\mathbb{B}^n$ 上の準双曲的距離は $\frac{1}{1+|a|}k_{\mathbb{B}^n}(x,y) \leq k_{\mathbb{B}^n}(h(x),h(y)) \leq (1+|a|)k_{\mathbb{B}^n}(x,y)$ を満たし、定数 $1+|a|$ および $1/(1+|a|)$ は鋭い。
• 定理 1.2 における古典的準不変性評価の定数 $2$ は一様に改善できない。最適定数は固定点 $a$ に依存し、$|a| \to 1$ のとき $\infty$ に近づく。
• 穴あき空間 $\mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ において、不等式 $q(x,y) \leq c \cdot k_G(x,y)$ の最適定数は $\frac{|z| + \sqrt{1 + |z|^2}}{2}$ であり、これは極限で達成される。
• 比 $\sup_{x,y \in \mathbb{R}^n \setminus \{z\}, x \neq y} \frac{q(x,y)}{k_G(x,y)} = \frac{|z| + \sqrt{1 + |z|^2}}{2}$ は、$x,y \to (-\sqrt{1+|z|^2} + |z|) \frac{z}{|z|}$ のとき達成される。
• $z=0$ のとき、Klén が以前に得た $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ における定数 $\frac{1}{2}$ の評価は、一般結果の特別な場合である。
• 本稿は、Möbius 写像における準双曲的距離の古典的準不変性の定数 $2$ が最適ではなく、固定点 $a$ に依存する形に改善可能であることを確認する。