[論文レビュー] Quasilinear eigenvalues

Julián Fernández Bonder, Juan Pablo Pinasco+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、単調で同次的構造を有する一般の非線形楕円型作用素のクラスに対して、p-ラプラシアンの固有値理論を拡張する。非線形固有値の均質化結果を確立し、周期的変動に対する固有値および固有関数の収束を示す。ノードドメインの測度に対する一様な下界が、変動スケールに依存しないことを保証する。

ABSTRACT

In this work, we review and extend some well known results for the eigenvalues of the Dirichlet $p-$Laplace operator to a more general class of monotone quasilinear elliptic operators. As an application we obtain some homogenization results for nonlinear eigenvalues.

研究の動機と目的

• 既知のp-ラプラシアン固有値に関する結果を、より広いクラスの非線形的で単調な楕円型作用素へ一般化すること。
• これらの一般化された作用素の変分スペクトルおよびスペクトル的性質を分析すること。
• 係数および重みの周期的変動下での非線形固有値の均質化結果を確立すること。
• 均質化パラメータに依存しないノードドメインの測度に対する一様な下界を証明すること。
• 均質化極限における固有値および固有関数の収束を示すこと。

提案手法

• 同次的かつ単調な $ a(x,\xi) $ を有する発散型 $ -\operatorname{div}(a(x,\nabla u)) = \lambda \rho(x)|u|^{p-2}u $ を用いて、非線形作用素の固有値問題を形式化する。
• 変分法および臨界点理論を用いてスペクトルおよび固有関数を定義する。
• 集中・コンパクトネスおよび単調性技術を適用し、周期的変動下での固有関数の挙動を分析する。
• p-ラプラシアンとの比較および $ \mu_1(\mathcal{N}) $ に関する既知の推定を用いて、ノードドメイン測度に対する一様な下界を確立する。
• Krasnoselskiiの種数および対称的臨界点理論を用いて、最小最大化原理による固有値の特徴付けを行う。
• ノードドメイン制御を介して上界および下界を組み合わせることで、固有値 $ \lambda_k^\varepsilon $ が極限固有値 $ \lambda_k $ に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-ラプラシアンのスペクトル的性質は、同次的構造を有するより一般の非線形的で単調な作用素へどのように拡張可能か？
• RQ2 係数および重みの周期的均質化下で、固有値および固有関数の挙動はいかなるものか？
• RQ3 均質化パラメータ $ \varepsilon $ に依存しないノードドメインの測度に対する一様な下界を確立可能か？
• RQ4 変動問題の $ k $ 番目の固有値は、極限問題の $ k $ 番目の固有値に収束するか？
• RQ5 変分スペクトルと一般化固有値問題の実際のスペクトルとの関係は何か？

主な発見

• 変動問題の $ k $ 番目の固有値 $ \lambda_k^\varepsilon $ は $ \varepsilon \to 0 $ のとき、極限問題の $ k $ 番目の固有値 $ \lambda_k $ に収束する。
• 固有関数 $ u_k^\varepsilon $ の各ノードドメインの測度は、$ \varepsilon $ に依存しない正の定数 $ C(k) $ で下から抑えられており、濃縮が生じないことを保証する。
• 各ノードドメインにおける第一固有値は $ \lambda_{1,i}^\varepsilon \to \lambda_{1,i} = \lambda_k $ として $ \varepsilon \to 0 $ のとき収束する。ここで $ \lambda_{1,i} $ は極限における $ k $ 番目の固有値に等しい。
• 上界 $ \lambda_k^\varepsilon \leq \max_i \lambda_{1,i}^\varepsilon $ が成り立ち、$ \lambda_{1,i}^\varepsilon \to \lambda_k $ であるから、$ \limsup_{\varepsilon \to 0} \lambda_k^\varepsilon \leq \lambda_k $ が従う。
• ノードドメイン測度の制御および固有値が $ \lambda_k $ 未満に低下できないという事実を用いて、下界 $ \lambda_k \leq \liminf_{\varepsilon \to 0} \lambda_k^\varepsilon $ が確立される。
• 上界と下界の組み合わせにより、$ \lim_{\varepsilon \to 0} \lambda_k^\varepsilon = \lambda_k $ が得られ、$ k $ 番目の固有値の収束が証明される。