[論文レビュー] Quasilinear elliptic equations in $\RN$ via variational methods and Orlicz-Sobolev embeddings

Antonio Azzollini, Pietro d’Avenia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、新しく定義されたオルリッチ＝ソボレフ空間の枠組みにおいて、変分法を用いて $\mathbb{R}^N$ 上の非線形項の成長が非一様な擬線形楕円型方程式に対して、非自明な非負径向的解の存在を確立する。臨界点理論を用い、径向対称性を活用してコンパクト埋込みを示すことにより、非線形項および構造関数 $\phi$ に特定の成長条件を課した下で、グランドステート解が得られる。多重性および存在性の結果は、マウンテンパス定理およびネハリ多様体解析によって確認される。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of a nontrivial non-negative radial solution for a quasilinear elliptic problem. Our aim is to approach the problem variationally by using the tools of critical points theory in an Orlicz-Sobolev space. A multiplicity result is also given.

研究の動機と目的

• 非標準的成長を示す主部を有する $\mathbb{R}^N$ 上の擬線形楕円型問題に対して、非自明で非負の径向的解の存在を確立すること。
• 主部の零点近傍と無限大における異なる成長率に対応するため、オルリッチ＝ソボレフ空間を用いて適切な関数空間枠組みを構築すること。
• 非有界領域におけるコンパクト性の問題を、径向対称関数に制限し、Lebesgue空間へのコンパクト埋込みを示すことによって克服すること。
• 特にマウンテンパス定理およびその $\mathbb{Z}_2$ 対称版を用いた臨界点理論を応用し、解の存在および多重性を証明すること。
• 径向オルリッチ＝ソボレフ空間におけるネハリ多様体上でのエネルギー汎関数の最小化によってグランドステート解を同定すること。

提案手法

• 問題は、$\phi(|\nabla u|^2)$、$|u|^\alpha$、$|u|^s$ の項を含む $C^1$ 泛関数 $I(u)$ を径向オルリッチ＝ソボレフ空間 ${\cal W}_r$ 上に定義することによって変分的に取り扱う。
• 関数空間枠組みは、$\phi(t)$ が小さい $t$ では $t^{q/2}$ のように振る舞い、大きい $t$ では $t^{p/2}$ のように振る舞うように、$1 < p < q < N$ を満たすように設計されたオルリッチ＝ソボレフ空間に基づく。
• すべての汎関数の項が空間のノルムによって有界であり、有限であることを保証するための埋込み定理を確立し、Lebesgue空間の和および連続的埋込みの結果に依拠する。
• コンパクト性は、関数を径向対称関数の空間に制限することによって達成され、一様に減衰する推定が可能となり、${\cal W}_r$ が $L^s(\mathbb{R}^N)$ にコンパクトに埋め込まれることを示す。$s \in (\max\{q,\alpha\}, p^*)$ の範囲で成り立つ。
• ${\cal W}_r$ においてパライス＝スモールド条件が確認され、マウンテンパス定理およびその対称版の適用が可能となり、少なくとも1つの非自明な解および多重性の結果が得られる。
• $\phi'$ に対する強化された仮定のもとで、エネルギー汎関数をネハリ多様体上での最小化によりグランドステート解 $\bar{u} \in {\cal W}_r$ として特定し、$I(\bar{u}) = \min_{u \in \mathcal{S}} I(u) > 0$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様成長を示す主部を有する $\mathbb{R}^N$ 上の擬線形楕円型方程式に対して、非自明で非負の径向的解が存在しうるか。
• RQ2 $\phi$ の成長が零点近傍と無限大で異なる場合に、問題の変分的定式化が適切に定義され、$C^1$ であるための関数空間枠組みは何か。
• RQ3 移動不変性が壊れる非有界領域において、Sobolev空間のコンパクト埋込みが失われる状況で、どのようにコンパクト性を回復できるか。
• RQ4 エネルギー汎関数がネハリ多様体上での最小化によってグランドステート解をもつための条件は何か。
• RQ5 この非標準的変分的設定において、対称的臨界点理論を用いて解の多重性を確立できるか。

主な発見

• 条件 $1 < p < q < N$、$\max\{q, \alpha\} < s < p^*$、$1 < \alpha \leq p^* q' / p'$ を満たし、$\phi$ が成長および凸性の仮定 (Φ1)–(Φ5) を満たす場合、$\mathbb{R}^N$ 上の擬線形楕円型問題に対して非自明で非負の径向的解が存在する。
• 汎関数 $I(u)$ は、径向オルリッチ＝ソボレフ空間 ${\cal W}_r$ 上で適切に定義されており、$C^1$ である。${\cal W}_r$ は、径向対称な $C_c^\infty$ 関数の列が $\phi$ から導かれるノルムに関して閉包をとることで構成される。
• ${\cal W}_r$ は $L^s(\mathbb{R}^N)$ に $s \in (\max\{q, \alpha\}, p^*)$ の範囲でコンパクトに埋め込まれる。これにより、パライス＝スモールド条件の検証および臨界点理論の適用が可能になる。
• $\mathbb{Z}_2$ 対称マウンテンパス定理を用いることで多重性の結果が得られ、与えられた成長および凸性条件のもとで無限個の解が存在することが保証される。
• (Φ2′) のより強い仮定のもとで、グランドステート解 $\bar{u} \in {\cal W}_r$ が存在し、非自明な解の集合上でのエネルギー汎関数の最小化として特定され、$I(\bar{u}) = \min_{u \in \mathcal{S}} I(u) > 0$ を満たす。
• 解 $\bar{u}$ は、$\bar{u}^-$ に対して方程式をテストすることで非負性が示され、そうでなければ矛盾が生じるため、ほとんど everywhere で $\bar{u} \geq 0$ である。