[論文レビュー] Quasilinear parabolic problem with $p(x)$-Laplacian: existence, uniqueness of weak solutions and stabilization

Jacques Giacomoni, Sweta Tiwari+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、有界領域における変数指数 $p(x)$-ラプラシアンを有する非線形放物型方程式の弱解の存在、一意性、および安定化を確立する。時間方向の半離散化と半群的手法を用いて、$C([0,T];\mathbb{W})$ および $C([0,T];L^\infty(\Omega))$ 内の弱解の存在を証明し、サブ解・スーパーソリューションおよび弱比較原理を用いて、適切な非線形性のもとで定常状態への安定化を示した。本研究は変数指数設定において新たな結果を提供する。

ABSTRACT

We discuss the existence and uniqueness of the weak solution of the following quasilinear parabolic equation $u_t-\\Delta _{p(x)}u = f(x,u)$ in $ (0,T)\ imes\\Omega$; $u = 0$ on $(0,T)\ imes\\partial\\Omega$; $u(0,x)=u_0(x)$ in $\\Omega$; involving the $p(x)$-Laplacian operator. Next, we discuss the global behaviour of solutions and in particular some stabilization properties.

研究の動機と目的

• 有界領域におけるディリクレ境界条件を満たす $p(x)$-ラプラシアンを有する非線形放物型偏微分方程式の弱解の存在と一意性を確立すること。
• 解のグローバルな挙動、特に $t \to \infty$ のときの定常状態への漸近的収束を調査すること。
• 正則性および安定化に関する新たな結果を証明することにより、変数指数放物型方程式の理論を拡張すること、特に弱解および比較原理の文脈において。
• 半離散化および半群手法を用いた $p(x)$-ラプラシアン問題のための新規な枠組みを提供し、グローバルな挙動および安定化に関する文献の空白を埋めること。

提案手法

• 時間方向の半離散化手法を用いて、$C([0,T];\mathbb{W})$ および $C([0,T];L^\infty(\Omega))$ 内の弱解を構成し、存在性と正則性を保証する。
• 弱比較原理を用いてサブ解とスーパーソリューションを比較し、長期間の挙動の解析を可能にする。
• 変数指数ルベーグ空間およびソボレフ空間におけるホルダーおよびヤングの不等式を用いて、特に $p(x)$-成長の文脈で事前推定を導出する。
• 変数指数空間における埋め込みおよびコンパクトネスの結果の有効性を保証するため、$1/p(x)$ の対数ホルダー連続性を仮定する。
• 切り上げ関数 $\varphi$ を用いたテスト関数法によりエネルギー型推定を導出し、反復および被覆議論を経て $L^\infty$ 界を導出する。
• 非線形項 $f(x,u)$ に対して適切な条件が満たされれば、比較原理および解の有界性を用いて定常解への収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の変数指数条件およびカラテオドリ非線形性のもとで、$p(x)$-ラプラシアンを有する非線形放物型問題に対して弱解が存在するか？
• RQ2 $p(x)$ および $f(x,u)$ に対する与えられた仮定のもとで、弱解は一意的か？
• RQ3 適切なクラスの非線形項 $f$ に対して、グローバル解は $t \to \infty$ のとき定常状態に安定化するか？
• RQ4 変数指数および亜臨界定常成長条件下で、弱解の正則性、特に $L^\infty(\Omega)$ における有界性はどのように保証されるか？
• RQ5 時間離散化を施した半群手法は、$p(x)$-ラプラシアン問題において $C([0,T];L^\infty(\Omega))$ 内の弱解をどのように得るか？

主な発見

• 半離散化および半群手法を用いて、$C([0,T];\mathbb{W})$ および $C([0,T];L^\infty(\Omega))$ 内の弱解の存在が確立され、$p(x)$-ラプラシアン放物型問題に対する新たな存在枠組みが提供された。
• 弱比較原理を適用することで、$f(x,u)$ に対して適切な条件が満たされれば、解が定常解に収束することを示し、漸近的収束を証明した。
• 切り上げ関数法およびホルダー型推定を用いて、弱解の事前 $L^\infty$ 界を導出し、$r(x) < p^*(x)$ の下でグローバル有界性を導いた。
• 非線形項 $f$ が $|f(x,t)| \leq c_1 + c_2|t|^{r(x)-1}$ を満たし、$r(x) < p^*(x)$ かつ $g \in L^q$（$q > d/p_-$）であると仮定すれば、補題 C.5 を用いて $u \in L^\infty(\Omega)$ であることが示された。
• $p \in C(\overline{\Omega})$、$p^- < d$ および $f$ が亜臨界定常成長を満たすと仮定すれば、正則性結果が変数指数設定へ拡張され、$u \in L^\infty(\Omega)$ であることが証明された。
• 変数指数放物型方程式の文脈において、定常状態への収束を比較原理を用いて解析した点で、本研究の安定化結果は新規である。過去の研究では、この枠組みで比較原理を用いた定常状態への収束解析はなされていなかった。