[論文レビュー] Quasimap wall-crossing for GIT quotients

Yang Zhou|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、重み付き曲線から構成されたマスタースペース上の仮想局所化を用いて、すべての genus における GIT 商への $\epsilon$-安定準マップの一般化されたウォールクロッシング公式を証明する。主な結果は、両方のチャネルが安定である場合、隣接するチャネルにおける不変量が等価であることを示し、左端のチャネルにおける genus-zero 不変量を small $I$-関数を用いて計算することで、準マップ $J$-関数が Gromov–Witten ラグランジュアン・コーン上にあることを確認する。

ABSTRACT

In this paper, we prove a wall-crossing formula for $ε$-stable quasimaps to GIT quotients conjectured by Ciocan-Fontanine and Kim, for all targets in all genera, including the orbifold case. We prove that stability conditions in adjacent chambers give equivalent invariants, provided that both chambers are stable. In the case of genus-zero quasimaps with one marked point, we compute the invariants in the left-most stable chamber in terms of the small $I$-function. Using this we prove that the quasimap $J$-functions are on the Lagrangian cone of the Gromov--Witten theory. The proofs are based on virtual localization on a master space, obtained via some universal construction on the moduli of weighted curves. The fixed-point loci are in one-to-one correspondence with the terms in the wall-crossing formula.

研究の動機と目的

• すべての genus における GIT 商への $\epsilon$-安定準マップの一般ウォールクロッシング公式を確立すること、これにはオルビフォールドのターゲットも含む。
• 両方のチャネルが安定である場合、隣接するチャネルにおける準マップ不変量が等価であることを証明すること。
• 左端の安定チャネルにおける genus-zero 準マップ不変量を small $I$-関数を用いて計算すること。
• 準マップ $J$-関数が Gromov–Witten 理論のラグランジュアン・コーン条件を満たすことを示すこと。
• K-理論的不変量へのこの手法の拡張を提示し、同行の論文で証明を示す予定である。

提案手法

• 重み付き曲線のモジュライ空間上の普遍的構成により、安定パラメータに依存する準マップ不変量を統一するマスタースペースを構築する。
• マスタースペースに仮想局所化を適用し、固定点の部分多様体がウォールクロッシング公式の各項と一対一に対応することを示す。
• マスタースペースの仮想基本クラスを用いて、異なる $\epsilon$-チャネル間の不変量を関連付ける。
• 膨張されたプロジェクトーブンド上の交差論を用いて局所化寄与を計算し、等置換 K-理論における普遍的恒等式に帰着させる。
• 対称有理関数における重要な留数恒等式を用いて、一般の場合の局所化公式の正当性を検証する。
• 平坦な引き戻しと Poincaré 対称性を用いて一般ケースを特殊ケースに還元し、トートロジカルなセクションを用いて問題を射影空間の積上に実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての genus およびすべての GIT 商（オルビフォールドを含む）に対して、$\epsilon$-安定準マップのウォールクロッシング公式は成り立つか？
• RQ2 隣接する安定チャネルにおける準マップ不変量は、ウォールクロッシング条件下で等価か？
• RQ3 左端のチャネルにおける genus-zero 準マップ不変量は、small $I$-関数を用いて明示的に計算可能か？
• RQ4 準マップ $J$-関数は Gromov–Witten 理論のラグランジュアン・コーン条件を満たすか？
• RQ5 この手法は K-理論的準マップ不変量へと拡張可能か？

主な発見

• ウォールクロッシング公式はすべてのターゲットおよびすべての genus で成り立つことが確認され、Ciocan-Fontanine と Kim の予想を裏付ける。
• 両方のチャネルが安定である場合、隣接するチャネル間の準マップ不変量が等価であることが示され、ウォール構造に沿った連続性が確立される。
• 1つのマークド点を持つ genus-zero において、左端の安定チャネルにおける不変量は small $I$-関数を用いて計算可能である。
• 準マップ $J$-関数は Gromov–Witten ラグランジュアン・コーン上に位置し、理論の中心的予想が確認された。
• マスタースペース上の仮想局所化による手法は、固定点寄与を介したウォールクロッシング項の計算を統一的フレームワークで行う。
• 一般ケースは、帰納法と留数解析により、対称有理関数における普遍的留数恒等式に還元され、正当化された。