[論文レビュー] Quasimaps, straightening laws, and quantum cohomology for the Lagrangian Grassmannian

James Ruffo|ArXiv.org|Jun 4, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、射影直線 $
\mathbb{P}^1$ からラグランジュィアン・グラスマンニアンへの次数$d$ の準マップをパラメトライズするドリンフェルト・ラグランジュィアン・グラスマンニアン内の任意のシューベル部分多様体の座標環が、分配的順序集合（doset）上のストレートネーション法則を持つ代数であることを確立する。これにより、これらの部分多様体がコhen＝マカウレイ的かつコーゾール的であることが示され、ストレートネーション法則から得られるヒルベルト関数により、量子コホノロジーの交点数の新たな導出が可能になる。

ABSTRACT

The Drinfel'd Lagrangian Grassmannian compactifies the space of algebraic maps of fixed degree from the projective line into the Lagrangian Grassmannian. It has a natural projective embedding arising from the canonical embedding of the Lagrangian Grassmannian. We show that the defining ideal of any Schubert subvariety of the Drinfel'd Lagrangian Grassmannian is generated by polynomials which give a straightening law on an ordered set. Consequentially, any such subvariety is Cohen-Macaulay and Koszul. The Hilbert function is computed from the straightening law, leading to a new derivation of certain intersection numbers in the quantum cohomology ring of the Lagrangian Grassmannian.

研究の動機と目的

• 準マップのコンパクト化であるドリンフェルト・ラグランジュィアン・グラスマンニアンへの標準単項理論の拡張。
• この空間内のシューベル部分多様体の座標環が、分配的順序集合（doset）上のストレートネーション法則を持つ代数であることを確立すること。
• ストレートネーション法則構造から、コhen＝マカウレイ性、コーゾール性、有理的特異点といった幾何的性質を導出すること。
• これらの部分多様体のヒルベルト関数を計算し、それを用いてラグランジュィアン・グラスマンニアンの量子コホノロジー環における交点数を導出すること。

提案手法

• ラグランジュィアン・グラスマンニアンの標準埋め込みを用いて、ドリンフェルト・ラグランジュィアン・グラスマンニアンを射影的多様体として構成する。
• プルーヴァー座標とインデックス対の順序条件を用いてシューベル部分多様体を定義する。
• インデックス対のposetから導かれる分配的ラティス構造に基づくストレートネーション法則（ASL）理論を適用する。
• ストレートネーション関係を用いて、シューベル部分多様体の定義イデアルがストレートネーション法則の公理を満たす二次多項式によって生成されることを示す。
• 任意のシューベル部分多様体の座標環が、ストレートネーション関係によって生成されるイデアルによる多項式環の商であることを証明し、したがってコhen＝マカウレイ的かつコーゾール的であることを示す。
• ASLの単項式基底からヒルベルト関数を導出し、次元および次数の明示的公式が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト・ラグランジュィアン・グラスマンニアン内の任意のシューベル部分多様体の座標環は、分配的順序集合（doset）上のストレートネーション法則を持つ代数として実現可能か？
• RQ2 ストレートネーション法則構造が予測するように、これらのシューベル部分多様体はコhen＝マカウレイ的かつコーゾール的か？
• RQ3 このような部分多様体のヒルベルト関数は、ストレートネーション法則から明示的に計算可能か？
• RQ4 これらの計算により、ラグランジュィアン・グラスマンニアンの量子コホノロジー環における交点数の新たな導出が可能か？
• RQ5 ドリンフェルト・ラグランジュィアン・グラスマンニアンは、既知のドリンフェルト・グラスマンニアンの結果を一般化するホッジ代数か？

主な発見

• ドリンフェルト・ラグランジュィアン・グラスマンニアン内の任意のシューベル部分多様体の座標環は、分配的順序集合（doset）上のストレートネーション法則を持つ代数であり、これにより部分多様体が非特異的かつコhen＝マカウレイ的、コーゾール的であることが示される。
• 各シューベル部分多様体のヒルベルト関数は、ASLの単項式基底から計算可能であり、次元および次数の明示的公式が得られる。
• ラグランジュィアン・グラスマンニアンの量子コホノロジーの交点数は、ストレートネーション法則から得られるヒルベルト関数を用いて再導出された。
• 任意のシューベル部分多様体の定義イデアルは、ストレートネーション法則関係を満たす二次多項式によって生成される。
• ドリンフェルト・ラグランジュィアン・グラスマンニアン自体がホッジ代数であることが示された。これは、ドリンフェルト・グラスマンニアンの既知の結果を一般化するものである。
• インデックス対のposetの単体複体のファースト・リングは、局所的に上側半モジュラーなposetの単体複体のシェルラビリティにより、コhen＝マカウレイ的であることが示された。