[論文レビュー] Quasimodularity and large genus limits of Siegel-Veech constants

Dawei Chen, Martin Moeller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ブロッホ・オクウンコフのq-bracketを介して、重み付きトーラス被覆と準モジュラー形式を結びつけることで、アーベル微分の主ストラトムにおけるシーゲル・ヴィーチ定数の準モジュラー性を確立する。エスキン＝ゾリッチの予想、つまりマスール＝ヴィーチ体積およびシーゲル・ヴィーチ定数の大 genus 漸近挙動について、イーゼンスタイン級数と積算生成関数を用いた生成関数を用いて証明する。

ABSTRACT

Quasimodular forms were first studied in the context of counting torus coverings. Here we show that a weighted version of these coverings with Siegel-Veech weights also provides quasimodular forms. We apply this to prove conjectures of Eskin and Zorich on the large genus limits of Masur-Veech volumes and of Siegel-Veech constants. In Part I we connect the geometric definition of Siegel-Veech constants both with a combinatorial counting problem and with intersection numbers on Hurwitz spaces. We introduce modified Siegel-Veech weights whose generating functions will later be shown to be quasimodular. Parts II and III are devoted to the study of the quasimodularity of the generating functions arising from weighted counting of torus coverings. The starting point is the theorem of Bloch and Okounkov saying that q-brackets of shifted symmetric functions are quasimodular forms. In Part II we give an expression for their growth polynomials in terms of Gaussian integrals and use this to obtain a closed formula for the generating series of cumulants that is the basis for studying large genus asymptotics. In Part III we show that the even hook-length moments of partitions are shifted symmetric polynomials and prove a formula for the q-bracket of the product of such a hook-length moment with an arbitrary shifted symmetric polynomial. This formula proves quasimodularity also for the (-2)-nd hook-length moments by extrapolation, and implies the quasimodularity of the Siegel-Veech weighted counting functions. Finally, in Part IV these results are used to give explicit generating functions for the volumes and Siegel-Veech constants in the case of the principal stratum of abelian differentials. To apply these exact formulas to the Eskin-Zorich conjectures we provide a general framework for computing the asymptotics of rapidly divergent power series.

研究の動機と目的

• 重み付きトーラス被覆の数え上げを通じて、アーベル微分の主ストラトムにおけるシーゲル・ヴィーチ定数の準モジュラー性を確立すること。
• マスール＝ヴィーチ体積およびシーゲル・ヴィーチ定数の大 genus 漸近挙動に関するエスキン＝ゾリッチの予想を解決すること。
• ホイッスラー空間上の交線論およびモジュラー形式を用いて、シーゲル・ヴィーチ定数および体積の明示的生成関数を提供すること。
• 急速に発散するべき級数の漸近挙動を分析するためのフレームワークを構築すること。
• シフトされた対称多項式およびフック長のモーメントのq-bracketが、準モジュラー形式を生成することを示し、外挿を用いて負のインデックスへ拡張すること。

提案手法

• ブロッホ・オクウンコフの定理を用いて、シフトされた対称関数のq-bracketを準モジュラー形式として表現すること。
• ガウス積分と積算生成関数を用いて、q-bracketの成長多項式の閉じた公式を導出すること。
• 分割の偶数フック長モーメントがシフトされた対称多項式であることを証明し、それらのq-bracketをイーゼンスタイン級数の微分の線形結合として計算すること。
• 外挿を適用して(−2)-次のフック長モーメントを定義し、これによりシーゲル・ヴィーチ重み付き数え上げ関数の準モジュラー性を導出すること。
• ベルヌーイ数係数を持つべき級数の逆数を用いて、主ストラトムにおけるシーゲル・ヴィーチ定数および体積の生成関数を構成すること。
• 急速に発散する級数の一般漸近フレームワークを適用し、生成関数から大 genus 展開を抽出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル微分の主ストラトムにおけるシーゲル・ヴィーチ定数は、準モジュラー形式か？
• RQ2 主ストラトムにおけるマスール＝ヴィーチ体積およびシーゲル・ヴィーチ定数の大 genus 漸近挙動は何か？
• RQ3 シフトされた対称多項式とフック長モーメントの積のq-bracketは、イーゼンスタイン級数の微分の線形結合として表現可能か？
• RQ4 シーゲル・ヴィーチ定数の生成関数は、モジュラー形式およびべき級数の逆数を用いてどのように表現可能か？
• RQ5 この文脈におけるモジュラー形式から生じる急速に発散する級数の漸近展開は何か？

主な発見

• 主ストラトムにおけるシーゲル・ヴィーチ定数の生成関数は、q-bracket恒等式および負のインデックスへの外挿を用いて準モジュラー形式であることが証明された。
• p > 0 に対するシーゲル・ヴィーチ定数 $ c_p^0({ m Tr}^n) $ の主要漸近項は、ベルヌーイ数および有理数的交線数を含む組合せ的項の和で与えられる。
• p = -1 の場合、$ X^{k+1} $ 項への追加寄与が生じ、生成関数における $ G_2^{(k-1)} $ 項のおかげで、異なる漸近的構造を示す。
• マスール＝ヴィーチ体積およびシーゲル・ヴィーチ定数の比の漸近展開は、モジュラー形式の主要係数から $ { m Ev} $-写像を介して得られ、エスキン＝ゾリッチの予想が確認された。
• シーゲル・ヴィーチ定数 $ C_p^0(u) $ の生成関数は、$ G_{p+i+1}^{(i+k)} $ および $ p_2 $-作用素の積算生成関数を含む二重和として表現された。
• 級数の漸近挙動は、ベルヌーイ数係数を持つ逆べき級数の展開における最高次の寄与によって決定される、急速に発散する級数の一般フレームワークを用いて計算された。