[論文レビュー] Quasiperiodic infinite words : multi-scale case and dynamical properties

Thierry Monteil, Solomon Marcus|ArXiv.org|Mar 14, 2006

semigroups and automata theory被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、無限個の異なる準周期をもつ準周期的無限語であるマルチスケール準周期的無限語を導入し、それらがゼロトポロジカルエントロピーおよびゼロコルモゴロフ複雑度を持つ一意的エルゴディックなサブシフトを生成することを示している。主な貢献は、非常に対称的なストゥルミアンサブシフトがマルチスケール準周期的であることを証明し、準周期性と深い力学的対称性を調和させた点にある。

ABSTRACT

An infinite word x is said to be quasiperiodic if there exists a finite word q such that x is covered by occurrences of q (such a q is called a quasiperiod of x). Using the notion of derivation, we show that this definition is not sufficient to imply any symmetry in an infinite word. Therefore we introduce multi-scale quasiperiodic words, i.e. quasiperiodic words that admit an infinite number of quasiperiods. Such words are uniformly recurrent, this allows us to study the subshift they generate. We prove that multi-scale quasiperiodic subshifts are uniquely ergodic and have zero topological entropy as well as zero Kolmogorov complexity. Sturmian subshifts are shown to be multi-scale quasiperiodic.

研究の動機と目的

• 標準的な準周期的無限語に見られる対称性の欠如に対処するため、マルチスケール準周期性の洗練された概念を導入すること。
• マルチスケール準周期的サブシフトが一様再帰的であり、強力な力学的性質を有することを確立すること。
• ストゥルミアンサブシフトが、非周期的系の中で最大対称性を示すが、マルチスケール準周期的であることを示し、準周期性と他の対称性概念を一致させること。
• 導出作用素と統合作用素を用いて準周期性と記号的力学系を統一し、スケール変換下での構造的不変性を明らかにすること。
• マルチスケール準周期的サブシフトがゼロトポロジカルエントロピーおよびゼロコルモゴロフ複雑度を有することを示し、最大の規則性を示すこと。

提案手法

• 無限語 x が準周期 q を持つとき、連続する q-出現の重なりを符号化する新しい語に写像する導出作用素 ∂x/∂q を導入する。
• 逆作用素としての統合作用素 ∫_w x を定義する。ここで、数値アルファベット上の語 x が、語 w を用いた置換に基づき、有限アルファベット上の語に写像される。
• 導出と統合の枠組みを用いて、準周期性が本質的に対称的ではないことを示し、マルチスケール準周期性の必要性を動機づける。
• Rauzyグラフ構成を用いてサブシフトを分析する：頂点は長さ n の語、辺は重なりを表し、グラフ構造が再帰性と複雑度を明らかにする。
• マルチスケール準周期的サブシフトが、Rauzyグラフの意味で1-接続不能であることを証明し、最大で1つのエルゴディック測度を持つことを示唆する。
• 最小サブシフトと一様再帰性の概念を用いて、複雑度解析を通じて一意的エルゴディック性とゼロエントロピーを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準周期的無限語が、一様再帰性、ゼロエントロピー、一意的エルゴディック性といった他の対称性概念と整合可能か？
• RQ2 無限個の異なる準周期をもつ無限語（マルチスケール準周期性）が、どのような力学的性質を示すか？
• RQ3 非周期的系の中で最大対称性を示すストゥルミアンサブシフトは、マルチスケール準周期的か？
• RQ4 導出と統合作用素の枠組みは、スケール変換の下での準周期的語の構造的不変性をどのように明らかにするか？
• RQ5 Rauzyグラフ構造、接続不能性、および最小サブシフトにおけるエルゴディック測度の数の関係は何か？

主な発見

• マルチスケール準周期的サブシフトは一様再帰的であり、すべての有限因子が有界なギャップで繰り返される。
• これらのサブシフトは一意的エルゴディック的であり、正確に1つの不変ボレル確率測度が存在する。
• マルチスケール準周期的サブシフトのトポロジカルエントロピーはゼロであり、最大の規則性と複雑性の欠如を示している。
• マルチスケール準周期的語のコルモゴロフ複雑度はゼロであり、アルゴリズム的単純性を確認している。
• ストゥルミアンサブシフトは、左特殊語とRauzyグラフ構造から導かれる無限個の準周期の存在により、マルチスケール準周期的である。
• ストゥルミアンサブシフトのRauzyグラフには、無限に多くの「バースト」インデックス n が存在し、その各々でグラフは8の字型であり、2つのループがそれぞれ長さ ≤ n である。この構造により、左特殊語 l_n が関連する無限語 x の準周期として機能することが保証される。