[論文レビュー] Quasiperiodicities in Fibonacci strings

Michalis Christou, Maxime Crochemore+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2012

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、元の文字列の部分文字列でなければならないという制約の下で、有限フィボナッチ文字列のすべての左シード、右シード、シード、カバー、および円形フィボナッチ文字列のすべてのカバーを同定する。フィボナッチ文字列の構造的性質、およびその境界、周期、重なりに関する性質を用いて、組合せ的解析と再帰的文字列分解を通じて、これらの準周期的構造の正確な特徴付けを導出し、フィボナッチ語におけるこのような構造の完全分類を提供する。

ABSTRACT

We consider the problem of finding quasiperiodicities in a Fibonacci string. A factor u of a string y is a cover of y if every letter of y falls within some occurrence of u in y. A string v is a seed of y, if it is a cover of a superstring of y. A left seed of a string y is a prefix of y that it is a cover of a superstring of y. Similarly a right seed of a string y is a suffix of y that it is a cover of a superstring of y. In this paper, we present some interesting results regarding quasiperiodicities in Fibonacci strings, we identify all covers, left/right seeds and seeds of a Fibonacci string and all covers of a circular Fibonacci string.

研究の動機と目的

• 有限フィボナッチ文字列のすべての左シード、右シード、シード、カバーを特徴付けること。
• 円形フィボナッチ文字列のすべてのカバーを特定すること。ここで、円形文字列はフィボナッチ文字列の最初と最後の文字を接続して形成される。
• それらの準周期的構造が元の文字列の部分文字列でなければならないという制約の下で、フィボナッチ文字列における準周期的構造の完全分類を提供すること。
• 特に Iliopoulos 他 [10] らの先行研究とは異なる新しい組合せ的アプローチを提示し、円形フィボナッチ文字列におけるカバーを同定すること。
• 文字列アルゴリズムのテストやスターミアン語への結果の拡張に役立つ理論的基盤を確立すること。

提案手法

• フィボナッチ文字列の再帰的構造（$F_0 = b$, $F_1 = a$, $F_n = F_{n-1}F_{n-2}$ for $n \geq 2$）を活用して、準周期的構造を分析する。
• フィボナッチ文字列における境界、周期、重なりの性質を用いて、因子がカバーまたはシードとして機能する条件を特定する。
• 重なり長を用いた重ね合わせ技術を適用して、部分文字列がフィボナッチ文字列のスーパーストリングをどのようにカバーできるかをモデル化する。
• 左シードと右シードを、それぞれ $yv$ および $vy$ の形の拡張文字列をカバーする接頭辞および接尾辞として分析する。
• 文字列 $xF_ny$（$x$ は $F_n$ の接尾辞、$y$ は $F_n$ の接頭辞）の形のスーパーストリングをカバーできる能力を用いてシードを特徴付け、再帰的フィボナッチ分解を用いてカバー性を検証する。
• 特に $m \in \{3, \dots, n-1\}$ の場合のすべての可能な重なりと長さ制約を検討することで、すべての有効なカバーおよびシードの閉形式記述を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィボナッチ文字列 $F_n$ のすべての左シードは何か？
• RQ2 フィボナッチ文字列 $F_n$ のすべての右シードは何か？
• RQ3 フィボナッチ文字列 $F_n$ のすべてのカバーは何か？
• RQ4 フィボナッチ文字列 $F_n$ のすべてのシードは何か？
• RQ5 最初と最後の文字を接続して形成される円形フィボナッチ文字列 $C(F_n)$ のすべてのカバーは何か？

主な発見

• すべての左シードは、$k \in \{3, \dots, n-1\}$ および $i \in \{0, \dots, |F_{k-1}|-2\}$ の条件下で、$F_n[1\mathinner{.}.|F_k|+i]$ の形の接頭辞である。重なりによる適切なスーパーストリングのカバー性が保証される限り有効である。
• $C(F_n)$ のカバーである右シードは、$F_n$ 自身のカバーに限られる。他の右シードは、自身の長さを超える拡張文字列をカバーできないため、有効でない。
• すべての $C(F_n)$ のカバーには、$n \in \{0,1,2,3\}$ の場合に $F_n$ が含まれ、$n=4$ の場合は $F_n$ と $F_{n-1}$ が含まれ、さらに $m \in \{3, \dots, n-1\}$ の場合に $F_m x$、$xF_my$、$xF_{m-1}F_my$ の形の追加カバーが含まれる。ただし、特定の長さおよび重なり制約を満たす必要がある。
• $x$ が $F_m$ の接尾辞、$y$ が $F_{m-1}$ の接頭辞であり、$|x|+|y| \geq |F_m|$ であるような $xF_my$ の形のシードは、適切な重なりにより $F_n$ のスーパーストリングをカバーできる場合、$C(F_n)$ の有効なカバーである。
• $n \geq 5$ の場合、$C(F_n)$ のカバーには $F_n$、$F_{n-1}$、および $F_m$ と $F_{m-1}$ を部分的重なりで含むさまざまな組み合わせが含まれる。ただし、シードとその重なりの合計長が $|x|+|y| \geq |F_m|$ を満たす必要がある。
• 本論文は、$F_n[1\mathinner{.}.|F_n|-1]$ が $C(F_n)$ のカバーでないことを証明している。これは、$F_nF_n$ の接頭辞のうち $|F_n|-1$ より長い部分をカバーできないため、フィボナッチ文字列の展開における構造的制限に起因する。