[論文レビュー] Quasipolynomial-time Identity Testing of Non-Commutative and Read-Once Oblivious Algebraic Branching Programs

Michael A. Forbes, Amir Shpilka|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、読み込み一回の無作為化された代数的ブランチングプログラム（ABP）のための、初めての準多項式時間ブラックボックス恒等式テストアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、回路サイズを$S$として、サイズ$\exp(\lg^2 S)$のヒッティングセットを達成する。この手法は、評価次元と部分微分行列を活用して、ABPおよび関連クラス（非可換ABPや（準）対角的深さ4回路を含む）の効率的な決定的PITを構築する。

ABSTRACT

We study the problem of obtaining deterministic black-box polynomial identity testing algorithms (PIT) for algebraic branching programs (ABPs) that are read-once and oblivious. This class has an deterministic white-box polynomial identity testing algorithm (due to Raz and Shpilka), but prior to this work there was no known such black-box algorithm. The main result of this work gives the first quasi-polynomial sized hitting sets for size S circuits from this class, when the order of the variables is known. As our hitting set is of size exp(lg^2 S), this is analogous (in the terminology of boolean pseudorandomness) to a seed-length of lg^2 S, which is the seed length of the pseudorandom generators of Nisan and Impagliazzo-Nisan-Wigderson for read-once oblivious boolean branching programs. Our results are stronger for branching programs of bounded width, where we give a hitting set of size exp(lg^2 S/lglg S), corresponding to a seed length of lg^2 S/lglg S. This is in stark contrast to the known results for read-once oblivious boolean branching programs of bounded width, where no pseudorandom generator (or hitting set) with seed length o(lg^2 S) is known. In follow up work, we strengthened a result of Mulmuley, and showed that derandomizing a particular case of the Noether Normalization Lemma is reducible to black-box PIT of read-once oblivious ABPs. Using the results of the present work, this gives a derandomization of Noether Normalization in that case, which Mulmuley conjectured would difficult due to its relations to problems in algebraic geometry. We also show that several other circuit classes can be black-box reduced to read-once oblivious ABPs, including set-multilinear ABPs (a generalization of depth-3 set-multilinear formulas), non-commutative ABPs (generalizing non-commutative formulas), and (semi-)diagonal depth-4 circuits (as introduced by Saxena).

研究の動機と目的

• 読み込み一回の無作為化された代数的ブランチングプログラム（ABP）のホワイトボックスとブラックボックス多項式恒等式テスト（PIT）のギャップを埋めること。ホワイトボックスアルゴリズムは既知であるが、ブラックボックスのものは未だ存在しない。
• サイズ$S$で変数の順序が既知のABPに対して、決定的かつブラックボックスPITアルゴリズムを構築し、準多項式時間で実行すること。
• 結果を非可換ABP、集合多重線形ABP、および（準）対角的深さ4回路を含むより広い回路クラスへと拡張すること。
• ノエター正規化補題の特定のケースのドレアンドマイズが、読み込み一回の無作為化されたABPのブラックボックスPITに帰着されることを示すこと。
• 評価次元が、評価次元が小さい多項式の広いクラスに対してブラックボックスPITを可能にする有用な構造的パラメータであることを示すこと。

提案手法

• 多項式の評価次元を定義し、任意の変数部分集合上でその制限のスパンの最大次元として分析する。
• 多項式の評価次元が$r$である場合、幅$\leq rn^2$および深さ$D$の読み込み一回の無作為化されたABPで計算可能であることを証明する。
• 非可換ABP理論から取り入れた部分微分行列技術を用いて、与えられた多項式を計算するABPの幅を制限する。
• 評価次元と変数順序を活用して、サイズ$S$の読み込み一回の無作為化されたABPのためのヒッティングセット（サイズ$\exp(\lg^2 S)$）を構築する。
• 非可換ABPに対しては、$(D+1)\times(D+1)$行列上での評価を用いてヒッティングセット構築法を適用する。ここで$D$はABPの深さである。
• （準）対角的深さ4回路のPITを、読み込み一回の無作為化されたABPのPITに還元し、同時に並行して得られた研究と一致する準多項式時間ブラックボックスアルゴリズムを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホワイトボックスアルゴリズムが存在するにもかかわらず、読み込み一回の無作為化されたABPのための決定的ブラックボックスPITアルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 多項式の評価次元が、より広いクラスの多項式に対してブラックボックスPITを可能にする構造的パラメータとして利用可能か？
• RQ3 非可換ABPのためのブラックボックスPITアルゴリズムが、準多項式時間で実行可能か？
• RQ4 ノエター正規化補題のドレアンドマイズが、読み込み一回の無作為化されたABPのブラックボックスPITに帰着可能か？
• RQ5 ABP関連クラスのブラックボックスPITにおける準多項式オーバーヘッドを多項式時間にまで低減できるか？

主な発見

• 本稿では、変数の順序が既知のサイズ$S$の読み込み一回の無作為化されたABPに対して、サイズ$\exp(\lg^2 S)$のヒッティングセットを構築し、これにより準多項式時間ブラックボックスPITアルゴリズムを達成する。
• 幅が有界なABPに対しては、ヒッティングセットサイズが$\exp(\lg^2 S / \lg \lg S)$となり、一般の場合よりも顕著に小さく、既知のブール的擬似乱数生成の結果を上回る。
• 評価次元$\leq r$である$n$変数、次数$d$の多項式のクラスは、時間$\poly(n,d,r)^{\mathcal{O}(\lg n)}$で動作するブラックボックスPITを許容する。
• $(D+1)\times(D+1)$行列上での評価を用いて、非可換ABPのブラックボックスPITが得られ、回路サイズに関して準多項式時間で実行可能である。
• 本稿では、（準）対角的深さ4回路のPITが、読み込み一回の無作為化されたABPのPITに還元可能であり、最新の研究と一致する準多項式時間アルゴリズムを達成することを示した。
• クリーヴァンとシュピルカの再構築アルゴリズムを組み合わせることで、研究されたすべての回路クラス（集合多重線形ABPおよび非可換ABPを含む）に対して決定的再構築が達成された。