[論文レビュー] Quasiregular dynamics on the n-sphere

Alastair Fletcher, Daniel A. Nicks|ArXiv.org|Sep 1, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非一様的クアシリアグラー写像の境界である逃げる集合 $I(f)$ の境界 $ partial I(f)$ を分析することにより、$n$-次元球面上のクアシリアグラー力学系を調査する。$f$ が一様的クアシリアグラーかつ非単射であるとき、$ partial I(f)$ が完全集合であり、ジュリア集合 $J(f)$ と一致することを確立し、古典的複素力学系の結果を高次元クアシリアグラー設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this article, we investigate the boundary of the escaping set I(f) for quasiregular mappings on R^n, both in the uniformly quasiregular case and in the polynomial type case. The aim is to show that the boundary of I(f) is the Julia set J(f) when the latter is defined, and shares properties with the Julia set when J(f) is not defined.

研究の動機と目的

• ジュリア集合 $J(f)$ が定義されない場合の、$ mathbb{R}^n$ 上のクアシリアグラー写像に対する逃げる集合 $I(f)$ の境界を調査すること。
• $\partial I(f)$ が、ジュリア集合に一般的な位相的・力学的性質（たとえば完全性）を共有するかどうかを特定すること。
• 一様的クアシリアグラーの場合に $\partial I(f)$ が $J(f)$ と一致する条件を確立すること。
• 複素力学系におけるエレメンコの定理（逃げる集合の境界がジュリア集合に一致する）の結果を、高次元クアシリアグラー力学系へと拡張すること。

提案手法

• 写像 $f^k$ による反復の極限が無限大に発散する点の集合として、逃げる集合 $I(f)$ を定義する。
• リッカーマンのクアシリアグラー写像理論、特に歪曲度と内部歪曲度 $K_I$ の概念を用いる。
• モンテル型定理（定理 2.4）を適用し、反復族の正規性を分析し、ファトウ集合およびジュリア集合を特徴付ける。
• リッカーマンの定数 $q(n,K)$ を活用して、例外的集合の大きさを制御し、後退軌道を制御する。
• 背理法により $\partial I(f) = J(f)$ を証明する：$x_0 \in \partial I(f)$ がファトウ集合内にあると仮定すると、$U_0 \subset I(f)$ が導かれ、境界の属する性質に矛盾する。
• 任意の $x \in J(f)$ に対して $J(f) = \overline{O^{-}(x)}$ が成り立つことを利用し、$J(f)$ の点がすべて孤立点でないことを示し、完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ mathbb{R}^n$ 上のクアシリアグラー写像に対して、逃げる集合の境界 $\partial I(f)$ が完全集合である条件は何か？
• RQ2 $J(f)$ が定義されるクアシリアグラー写像において、$\partial I(f)$ がジュリア集合 $J(f)$ と一致するか？
• RQ3 $J(f)$ が定義されない場合でも、$\partial I(f)$ の力学的性質（たとえば完全性や不変性）を確立できるか？
• RQ4 多項式型クアシリアグラー写像の次数は、$I(f)$ および $\partial I(f)$ の構造にどのような役割を果たすか？
• RQ5 無限大に本質的特異点を持つクアシリアグラー写像に対して、逃げる集合 $I(f)$ は常に空でないか？

主な発見

• 次数が $K_I$ より大きい $K$-クアシリアグラー写像（多項式型）に対して、逃げる集合 $I(f)$ は空でなく開集合であり、$\partial I(f)$ は完全集合である。
• $\partial I(f)$ は $f$ に関して完全不変であり、$I(f)$、$\partial I(f)$、および $\mathbb{R}^n \setminus \overline{I(f)}$ はすべて完全不変集合である。
• 反復族 $\{f^k\}$ は球面距離に関して $I(f)$ 上で同調和的だが、$\partial I(f)$ のいかなる点に対しても同調和的でない。
• 非単射な一様的クアシリアグラー写像に対して、$\partial I(f) = J(f)$ が成り立ち、$J(f)$ は無限大の完全集合である。
• ジュリア集合 $J(f)$ は、任意の $x \in J(f)$ に対して $\overline{O^{-}(x)}$ に等しく、$J(f)$ の点のいずれも孤立点ではない。
• この結果により、複素力学系におけるエレメンコの定理が高次元クアシリアグラー力学系へと拡張され、$J(f)$ が形式的に定義されていなくても、$\partial I(f)$ がジュリア集合と同様に振る舞うことが示された。