[論文レビュー] Quasiregular mappings between equiregular SubRiemannian manifolds

Chang‐Yu Guo, Sebastiano Nicolussi Golo+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、同次次元 $Q \geq 2$ の等正則な部分リーマン多様体間の準正則写像の基礎理論を確立し、一般化された $P$-微分可能性の概念を導入し、このような写像がほとんど everywhere で $P$-微分可能であることを証明している。また、Lusin 条件 (N) および逆 Lusin 条件 (N⁻¹) を満たし、分岐集合が $Q$-次元ヒルベルト・ハウスドルフ測度でゼロであることも示している。結果はマーグリス＝モストウ理論に依存せず、測度空間上の距離幾何的技法と吹き出し解析を用いて得られている。

ABSTRACT

In this paper, we provide an alternative appraoch to an expectaion of Fässler et al [J. Geom. Anal. 2016] by showing that a metrically quasiregular mapping between two equiregular subRiemannian manifolds of homogeneous dimension $Q\geq 2$ has a negligible branch set. One main new ingredient is to develop a suitable extension of the generalized Pansu differentiability theory, in spirit of earlier works by Margulis-Mostow, Karmanova and Vodopyanov. Another new ingredient is to apply the theory of Sobolev spaces based on upper gradients developed by Heinonen, Koskela, Shanmugalingam and Tyson to establish the necessary analytic foundations.

研究の動機と目的

• 等正則な部分リーマン多様体間の準正則写像の理論を構築し、古典的なユークリッド空間における準正則理論を一般化すること。
• カルノー群を超えて一般な部分リーマン多様体へ $P$-微分可能性の概念を拡張すること。
• この幾何的設定においてリプシッツ写像のステパノフ型微分可能性結果を確立すること。
• 準正則写像が Lusin (N) 条件および共 Lusin (N⁻¹) 条件を満たし、分岐集合が $Q$-ヒルベルト・ハウスドルフ測度でゼロであることを証明すること。
• マーガリス＝モストウの結果に依存しない、部分リーマン幾何における準正則写像の自己完結的基盤を提供すること。

提案手法

• 測度空間上の距離幾何的技法と吹き出し解析を用いた一般化された $P$-微分可能性の定式化。
• 等正則な部分リーマン多様体における小さな球の幾何を制御するために Ball-Box 定理を用いた。
• リプシッツ関数のほとんど至る点における挙動を分析するために、Lebesgue 微分定理の変種を適用した。
• 水平ベクトル場の吹き出しおよび $M \times \mathbb{R}$ 上への拡張を用いて、無限小的挙動を研究した。
• 上付き勾配と曲線族のモジュラスを用いて、リプシッツ写像の $P$-微分可能性に関するステパノフ型定理を確立した。
• 最小上付き勾配とヤコビアンを用いて、解析的および距離的定義の準正則性の同等性を結びつけた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等正則な部分リーマン多様体間の準正則写像は、非線形ポテンシャル理論によって特徴付けられるか？
• RQ2 このような多様体間の非定数の解析的準正則写像は、必ず離散的かつ開写像であるか？
• RQ3 非自明な準正則写像が部分リーマン多様体間で存在するための条件は何か？
• RQ4 グロモフとゾリッチのグローバルホメオモルフィズム定理は、等正則な部分リーマン多様体上の局所ホメオモルフィックな準正則写像へ拡張可能か？
• RQ5 $(1+\varepsilon)$-準正則写像が次元 $Q \geq 3$ において局所ホメオモルフィックであるような閾値 $\varepsilon > 0$ が存在するか？

主な発見

• 同次次元 $Q \geq 2$ の等正則な部分リーマン多様体間の準正則写像は、ほとんど everywhere で $P$-微分可能である。
• 準正則写像の分岐集合は $Q$-次元ヒルベルト・ハウスドルフ測度でゼロである。
• 準正則写像は Lusin (N) 条件および共 Lusin (N⁻¹) 条件を満たす。
• 本論文では、この設定において、距離的、解析的、幾何的定義の準正則性の同等性を確立した。
• 理論はマーガリス＝モストウの結果に依存せず、測度論的およびソボレフ空間の技法に依拠している。
• 吹き出し解析と上付き勾配の分析を用いて、部分リーマン幾何的設定におけるリプシッツ写像のステパノフ型微分可能性結果を証明した。