[論文レビュー] Quasisymmetric functions for nestohedra

Vladimir Grujić|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2014

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ひとこと要約

本稿は、順序付き彩色の生成関数として定義され、構築セットの組み合わせ的ホップ代数からのホップ代数準同型として実現される、グラフの新しい準対称関数不変量 $ F_{\Gamma} $ を導入する。この不変量は、頂点の削除に基づく再帰的関係を有し、スターリングの彩色対称関数 $ X_{\Gamma} $ が区別できない非同型グラフに対しても区別可能であり、グラフ分類においてスターリングの彩色対称関数よりも厳密に強い不変量を提供する。

ABSTRACT

For a generalized permutohedron $Q$ the enumerator $F(Q)$ of positive lattice points in interiors of maximal cones of the normal fan $Σ_Q$ is a quasisymmetric function. We describe this function for the class of nestohedra as a Hopf algebra morphism from a combinatorial Hopf algebra of building sets. For the class of graph-associahedra the corresponding quasisymmetric function is a new isomorphism invariant of graphs. The obtained invariant is quite natural as it is the generating function of ordered colorings of graphs and satisfies the recurrence relation with respect to deletions of vertices.

研究の動機と目的

• スターリングの彩色対称関数を一般化する、グラフの新しい準対称関数不変量 $ F_{\Gamma} $ を定義すること。
• 組み合わせ的ホップ代数の構築セットから、$ F_{\Gamma} $ がホップ代数準同型として実現されることを確立すること。
• 頂点の削除に基づく再帰的関係を提供し、効果的な計算を可能にすること。
• スターリングの彩色対称関数 $ X_{\Gamma} $ よりも厳密に強い不変量であることを示し、$ X_{\Gamma} $ が同一であるにもかかわらず非同型のグラフを区別できることを示すこと。

提案手法

• グラフ $ \Gamma $ の順序付き彩色の生成関数として $ F_{\Gamma} $ を定義し、色が線形順序付けられており、単色成分が小さい色に制約を受けるようにする。
• 構築セットの組み合わせ的ホップ代数 $ \mathcal{B} $ を構成し、写像 $ B \mapsto F(P_B) $ が準対称関数のホップ代数へのホップ代数準同型であることを示す。
• P-分割の理論と、準対称関数への反対作用を用いて、$ F(P_B) $ の構造を分析する。
• 再帰的関係 $ F_{\Gamma} = \sum_{v \in V} (F_{\Gamma \setminus \{v\}})_1 $ を確立し、ここで $ (\cdot)_1 $ は準対称関数へのシフト作用素である。
• $ F(P_B) $ を、ネストヘドロン $ P_B $ の頂点に関連する未ラベル化された根付き木の多重集合と関連付ける。
• 再帰的関係を用いて、重要なグラフアソシアヒドロン（順列体、アソシアヘドロン、サイクロヘドロン、ステロヘドロン）の $ F(Q) $ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準対称関数 $ F_{\Gamma} $ は、スターリングの $ X_{\Gamma} $ に対する予想と同様に、特に木に対して完全な不変量として機能できるか？
• RQ2 $ F_{\Gamma} $ は、スターリングの彩色対称関数 $ X_{\Gamma} $ よりも非同型グラフを区別する能力に優れているか？
• RQ3 $ F_{\Gamma} $ の代数的構造は何か？また、構築セットからのホップ代数準同型として完全に特徴付けられるか？
• RQ4 ホップ代数 $ \mathcal{B} $ の構築セットに対して、一般化されたデーン＝ゾンマーヴィル関係式が成り立つか？

主な発見

• 不変量 $ F_{\Gamma} $ はスターリングの彩色対称関数よりも厳密に強い：同一の $ X_{\Gamma} $ を持つ非同型の5頂点グラフのペアを区別可能である。
• 関数 $ F_{\Gamma} $ は再帰的関係 $ F_{\Gamma} = \sum_{v \in V} (F_{\Gamma \setminus \{v\}})_1 $ を満たし、効果的な計算手法を提供する。
• 順列体 $ Pe^{n-1} $ に対して、$ F(Pe^{n-1}) = n(F(Pe^{n-2}))_1 $ であり、頂点数は $ p_n = n! $ である。
• アソシアヘドロン $ As^{n-1} $ に対して、$ F(As^{n-1}) = \left( \sum_{k=1}^n F(As^{k-2})F(As^{n-k-1}) \right)_1 $ であり、頂点数は $ a_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} $ である。
• サイクロヘドロン $ Cy^{n-1} $ に対して、$ F(Cy^{n-1}) = n(F(As^{n-2}))_1 $ であり、頂点数は $ c_n = \binom{2n-2}{n-1} $ である。
• ステロヘドロン $ St^{n-1} $ に対して、$ F(St^{n-1}) = \left( (n-1)F(St^{n-2}) + M_{(1)}^{n-1} \right)_1 $ であり、頂点数は $ s_n = (n-1)! \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!} $ である。