[論文レビュー] Quasitoric manifolds over a product of simplices

Suyoung Choi, Mikiya Masuda+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、単体の直積上のクォザトーリック多様体とスモールカバーを調査し、すべてのスモールカバーがこのような多様体に同値である一方で、クォザトーリック多様体が一般化ボット多様体に同値であるのは、その多様体がトーラス作用に関して不変なほぼ複素構造をもつとき、かつそのときに限ることを示している。さらに、クォザトーリック多様体の有理コホモロジー環が複素射影空間の直積と同一であるならば、その多様体は一般化ボット多様体とホメオモーフィックである。

ABSTRACT

A quasitoric manifold (resp. a small cover) is a $2n$-dimensional (resp. an $n$-dimensional) smooth closed manifold with an effective locally standard action of $(S^1)^n$ (resp. $(\mathbb Z_2)^n$) whose orbit space is combinatorially an $n$-dimensional simple convex polytope $P$. In this paper we study them when $P$ is a product of simplices. A generalized Bott tower over $\F$, where $\F=\C$ or $\R$, is a sequence of projective bundles of the Whitney sum of $\F$-line bundles starting with a point. Each stage of the tower over $\F$, which we call a generalized Bott manifold, provides an example of quasitoric manifolds (when $\F=\C$) and small covers (when $\F=\R$) over a product of simplices. It turns out that every small cover over a product of simplices is equivalent (in the sense of Davis and Januszkiewicz \cite{DJ}) to a generalized Bott manifold. But this is not the case for quasitoric manifolds and we show that a quasitoric manifold over a product of simplices is equivalent to a generalized Bott manifold if and only if it admits an almost complex structure left invariant under the action. Finally, we show that a quasitoric manifold $M$ over a product of simplices is homeomorphic to a generalized Bott manifold if $M$ has the same cohomology ring as a product of complex projective spaces with $\Q$ coefficients.

研究の動機と目的

• 単体の直積上のクォザトーリック多様体とスモールカバーを行列表現を用いて分類すること。
• このような多様体が一般化ボット多様体に同値である条件を特定すること。
• コホモロジー的同値性が位相的同値性（ホメオモーフィズム）を意味する条件を確立すること。

提案手法

• トーラス作用を符号化するベクトル行列を用いて、単体の直積上のクォザトーリック多様体とスモールカバーを表現する。
• コホモロジー環の構造を用いて、生成子と関係式を用いて「有理数上でのコホモロジー的直積」と定義する。
• 多様体の面的部分多様体を解析するため、直積多胞体に含まれる単体の数に関する帰納法を適用する。
• コホモロジー的仮定の下で、ベクトル行列を簡略化するためのブロック上三角行列分解を用いる。
• コホモロジー生成子間の逆行列関係を用いて、ベクトル行列の構造を分析する。
• 補題7.4を適用して、非ユニポテンツ形式の行列を除外し、ユニポテンツ上三角行列形式に導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体の直積上のクォザトーリック多様体が一般化ボット多様体に同値であるのはいつか？
• RQ2 クォザトーリック多様体のコホモロジー環と、単体の直積上のその位相型との関係は何か？
• RQ3 すべてのスモールカバーが単体の直積上では一般化ボット多様体に同値であるか？
• RQ4 有理コホモロジー的同値性が一般化ボット多様体へのホメオモーフィズムを意味するのはどのような条件下か？
• RQ5 コホモロジー的仮定の下で、クォザトーリック多様体のベクトル行列をユニポテンツ上三角行列形式に変換できるか？

主な発見

• 単体の直積上のすべてのスモールカバーは、一般化ボット多様体に同値である。
• 単体の直積上のクォザトーリック多様体が一般化ボット多様体に同値であるのは、その多様体がトーラス作用に関して不変なほぼ複素構造をもつとき、かつそのときに限る。
• クォザトーリック多様体の有理コホモロジー環が複素射影空間の直積と同一であるならば、その多様体は一般化ボット多様体とホメオモーフィックである。
• 有理数上でのコホモロジー的直積条件を満たす場合、クォザトーリック多様体のベクトル行列はユニポテンツ上三角行列に共役である。
• 有理数上でのコホモロジー的直積を満たすクォザトーリック多様体の面的部分多様体も、有理数上でのコホモロジー的直積を満たす。
• コホモロジー生成子の行列はブロック上三角行列であり、その可逆性により対角ブロックが消えないことが保証され、帰納的簡略化が可能になる。