[論文レビュー] Quasitoric Manifolds with Invariant Almost Complex Structure

Andrei Kustarev|ArXiv.org|Feb 2, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、クォズィトーリック多様体 $M^{2n}$ が $T^n$-不変なほぼ複素構造をもつための必要十分条件が、正のオムニオリエンテーションをもつことであることを確立している。このような構造の存在は、本質的にその基盤となる多面体のコホモロジーに依存し、すべての障害は自明に消える。また、標準的な弱く複素構造は、任意のこのような不変ほぼ複素構造と $T^n$-同値である。

ABSTRACT

We prove that any quasitoric manifold $M^{2n}$ admits a $T^n$-invariant almost complex structure if and only if $M$ admits a positive omniorientation. In particular, we show that all obstructions to existence of $T^n$-invariant almost complex structure on $M^{2n}$ arise from cohomology of underlying polytope - and hence are trivial.

研究の動機と目的

• クォズィトーリック多様体上に $T^n$-不変なほぼ複素構造が存在するための必要十分条件を特定すること。
• ダヴィスとジャヌシュケアウィッチ（1991）の問題7.6を解決すること。すなわち、特性写像 $\lambda$ を用いた基準を求める。
• このような構造の存在に対するすべての障害がコホモロジー的であり、オムニオリエンテーションが正であるときにはすべて消えることを示すこと。
• 任意の $T^n$-不変なほぼ複素構造が、標準的な弱く複素構造と $T^n$-同値であることを確立すること。

提案手法

• 軌道多面体 $P$ のスケルトンに沿った帰納法を用いて、低次元のストラトムからほぼ複素構造を拡張する。
• $i$-スケルトンを越える際の拡張の障害として、$C^i(P, \pi_{i-1}(SO(2i)/U(i)))$ に値をとる障害類 $\sigma^i_J$ を定義する。
• チューブ型近傍と境界球面を用いたホモトピー論的議論により、これらの障害類がコサイクルであることを証明する。
• 多面体 $P$ のホモロジーが自明であることから、コサイクル $\sigma^i_J$ がコバウンダリーであることが示され、障害を除去できるように構造を変更可能であることを示す。
• $(i > 1$ のとき) $\pi_{i-1}(SO(2i-2)/U(i-1)) \to \pi_{i-1}(SO(2i)/U(i))$ の同型性を用いて、次元間での一貫性を保証する。
• 固定点の符号を $\det(e_j) \cdot \det(\lambda_v)$ として定義し、正のオムニオリエンテーションを特徴づけ、それが構造の存在と関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォズィトーリック多様体 $M^{2n}$ が $T^n$-不変なほぼ複素構造をもつための条件は何か？
• RQ2 このような構造の構成に対する障害は、軌道多面体 $P$ の位相とどのように関係しているか？
• RQ3 標準的な弱く複素構造は、$T^n$-同値な意味で唯一の $T^n$-不変ほぼ複素構造であるか？
• RQ4 クォズィトーリック多様体は、トーリック多様体でもシンプレクティック多様体でもない場合に、$T^n$-不変なほぼ複素構造をもつことができるか？
• RQ5 正のオムニオリエンテーションは、$T^n$-不変なほぼ複素構造の存在にどのような役割を果たすか？

主な発見

• クォズィトーリック多様体 $M^{2n}$ が $T^n$-不変なほぼ複素構造をもつための必要十分条件は、正のオムニオリエンテーションをもつことである。
• このような構造の存在に対するすべての障害は、軌道多面体 $P$ のコホモロジーから生じるが、$P$ が自明なホモロジーをもつため、すべての障害は消える。
• 多様体 $M$ 上の標準的な弱く複素構造は、任意の $T^n$-不変ほぼ複素構造と $T^n$-同値である。
• 奇数 $k$ のとき、$\mathbb{C}P^2_k$ はトーリック多様体でもシンプレクティック多様体でもないが、$T^2$-不変なほぼ複素構造をもつ。
• 偶数 $k$ のとき、$\mathbb{C}P^2_k$ は、Todd虜数 $td = (k+1)/2$ が整数でないため、まったくほぼ複素構造をもたない。
• $T^n$-不変なほぼ複素構造の存在は、多様体が代数的であるかシンプレクティックであることの必要はない。$k \geq 3$ で奇数の $\mathbb{C}P^2_k$ がその反例である。