[論文レビュー] Quasitraces on exact C*-algebras are traces

Uffe Haagerup|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

Advanced Operator Algebra Research被引用数 43

ひとこと要約

この論文は、単位的完全に正確な C*-代数上の任意の 2-準トレースがトレースであることを証明し、AW*-因子に関するカプランスキーの予想の重要な部分を解決する。ボイクルスキーの半円系、AW*-完備化へのトレースの拡張、C*-代数の正確性の性質を用いて、完全に正確な代数上の準トレースが線形であることを示し、安定的に有限な完全に正確な C*-代数にトレース状態が存在すること、および完全に正確な C*-代数によって生成される AW*-因子は、フォン・ノイマン代数であることを示す。

ABSTRACT

It is shown that all 2-quasitraces on a unital exact C*-algebra are traces. As consequences one gets: (1) Every stably finite exact unital C*-algebra has a tracial state, and (2) if an AW*-factor of type II_1 is generated (as an AW*-algebra) by an exact C*-subalgebra, then it is a von Neumann II_1-factor. This is a partial solution to a well known problem of Kaplansky. The present result was used by Blackadar, Kumjian and Rørdam to prove that RR(A)=0 for every simple non-commutative torus of any dimension.

研究の動機と目的

• 完全に正確な C*-代数上の準トレースがトレースであるかどうかという、長年の C*-代数論の問題を解決すること。
• タイプ II₁ の AW*-因子がフォン・ノイマン代数であるというカプランスキーの予想に対する部分的解決を提供すること。
• 安定的に有限な単位的完全に正確な C*-代数が常にトレース状態をもつことを確立すること。
• 完全に正確な C*-部分代数によって生成されるタイプ II₁ の AW*-因子が、必ずフォン・ノイマン II₁-因子であることを示すこと。

提案手法

• ボイクルスキーの半円系を用いて、トレース状態の存在のない C*-代数を、作用素ノルムの不等式によって特徴付ける。
• GNS 構成と AW*-完備化を適用して、準トレースを AW*-因子上の正規準トレースに拡張する。
• 特に $ C_r^*(\mathbb{F}_\infty) $ を用いて、テンソル積埋め込みを分析する、完全に正確な C*-代数における最小テンソルノルムを用いる。
• C*-代数における正確性と性質 $ C' $ の同値性を活用して、テンソル積におけるノルム挙動を制御する。
• Krein-Milman の定理を用いて、状態空間における極端な準トレースの線形性を、すべての準トレースへと拡張する。
• II₁ AW*-因子における次元関数の一意性を応用し、非ユニタリ等長移動子を介して、非線形な準トレースが矛盾を引き起こすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的完全に正確な C*-代数上の任意の 2-準トレースは、必然的にトレースであるか？
• RQ2 安定的に有限な単位的完全に正確な C*-代数に正規化された準トレースが存在するならば、トレース状態の存在が保証されるか？
• RQ3 タイプ II₁ の AW*-因子が完全に正確な C*-部分代数によって生成されるならば、それは必ずフォン・ノイマン代数であるか？
• RQ4 AW*-因子のタイプ II₁ における準トレースの線形性の欠如は、$ C_r^*(\mathbb{F}_\infty) $ とのテンソル積における非ユニタリ等長移動子を介して検出可能か？
• RQ5 C*-代数の正確性は、その準トレースが AW*-完備化上で線形関数へと拡張可能であることを示唆するか？

主な発見

• 単位的完全に正確な C*-代数上の任意の 2-準トレースはトレースである。これは、このクラスにおいて準トレースが線形であることを確立する。
• 安定的に有限な単位的完全に正確な C*-代数は、常にトレース状態をもつ。これは主結果の直接的な帰結である。
• タイプ II₁ の AW*-因子が完全に正確な単位的 C*-部分代数によって生成されるならば、それはフォン・ノイマン II₁-因子である。
• 完全に正確な C*-代数に忠実な準トレースをもつ AW*-完備化は、$ C_r^*(\mathbb{F}_\infty) $ とテンソル積をとると、有限 AW*-代数に埋め込まれる。
• C*-代数にトレース状態が存在しないことは、$ \|\sum a_i^*a_i\| = 1 $ かつ $ \|\sum a_i a_i^*\| < 1 $ を満たす有限個の元の組の存在によって特徴付けられる。
• 完全に正確な C*-代数における最小テンソルノルムにより、$ \|\sum a_i b_i\| = \|\sum a_i \otimes b_i\|_{\min} $ が成り立つ。これは埋め込みの議論において不可欠である。