[論文レビュー] Quaternionic Computing

José M. Fernandez, William Alan Schneeberger|ArXiv.org|Jul 2, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、複素数の代わりにクォータニオンを振幅値として用いることで、重ね合わせ、ユニタリ性、射影測定を保持する、クォータニオン的計算モデルを提示する。主な結果として、特定のゲート評価順序が定義されたクォータニオン回路は、追加の1キュービットのみを用いた標準的量子回路によってシミュレート可能であることが示され、このモデルが量子計算よりも優れた計算能力を持たないことを証明する。

ABSTRACT

We introduce a model of computation based on quaternions, which is inspired on the quantum computing model. Pure states are vectors of a suitable linear space over the quaternions. Other aspects of the theory are the same as in quantum computing: superposition and linearity of the state space, unitarity of the transformations, and projective measurements. However, one notable exception is the fact that quaternionic circuits do not have a uniquely defined behaviour, unless a total ordering of evaluation of the gates is defined. Given such an ordering a unique unitary operator can be associated with the quaternionic circuit and a proper semantics of computation can be associated with it. The main result of this paper consists in showing that this model is no more powerful than quantum computing, as long as such an ordering of gates can be defined. More concretely we show, that for all quaternionic computation using n quaterbits, the behaviour of the circuit for each possible gate ordering can be simulated with n+1 qubits, and this with little or no overhead in circuit size. The proof of this result is inspired of a new simplified and improved proof of the equivalence of a similar model based on real amplitudes to quantum computing, which states that any quantum computation using n qubits can be simulated with n+1 rebits, and in this with no circuit size overhead. Beyond this potential computational equivalence, however, we propose this model as a simpler framework in which to discuss the possibility of a quaternionic quantum mechanics or information theory. In particular, it already allows us to illustrate that the introduction of quaternions might violate some of the ``natural'' properties that we have come to expect from physical models.

研究の動機と目的

• 複素数の代わりにクォータニオンを振幅値として用いるが、量子計算を模倣した形式的計算モデルを提唱すること。
• クォータニオン的計算が、標準的量子計算よりも計算上の優位性を提供するかどうかを調査すること。
• クォータニオン振幅の基礎的意味、特に物理的妥当性と情報理論的性質に関する考察を行うこと。
• クォータニオン回路が、最小限のオーバーヘッドで標準的量子回路を用いて効率的にシミュレート可能であることを示すこと。
• 非標準的量子理論（例えばクォータニオン量子力学）の自然さと整合性を検討する簡略化されたフレームワークとしてこのモデルを用いること。

提案手法

• クォータニオン上の有限次元ヒルベルト空間内の「光線」としての純粋状態に基づく計算モデルを定義する。
• 量子計算と同一の構造的原則を採用する：重ね合わせ、線形性、ユニタリ変換、射影測定。
• 回路の振る舞いの非一意性を解消するため、ゲート評価順序に全順序を導入し、各回路に対して一意なユニタリ作用素を定義可能にする。
• 固定されたゲート順序を持つ $n$ 個のクォータニオンビット（quaterbits）の回路は、回路サイズの著しい増加なしに、$(n+1)$ キュービットの量子回路によってシミュレート可能であることを証明する。
• 実振幅量子計算（rebits）の簡略化された証明技法をクォータニオンの場合に適応し、標準的量子計算と同等であることを示す。
• 群論的および代数的構造（例：単位元の平方根）を用いて、モデルの対称性と整合性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオンに基づく計算モデルは、標準的量子計算よりも計算能力を向上させることができるか？
• RQ2 クォータニオン振幅における非可換性が、量子回路の意味論と決定論的性質に与える影響は何か？
• RQ3 全ゲート評価順序の要請が、クォータニオン回路の物理的実現可能性と整合性に与える影響は何か？
• RQ4 クォータニオン計算は、どの程度まで標準的量子回路によってシミュレート可能であり、回路サイズのオーバーヘッドはどれくらいか？
• RQ5 クォータニオンモデルにおいて、どのような基礎的または情報理論的異常が生じ、物理的妥当性にどのように挑戦するか？

主な発見

• クォータニオン回路は、ゲート評価順序に全順序が指定されていなければ、一意に定義された振る舞いを持たない。
• 固定されたゲート順序のもとでは、各クォータニオン回路に対して一意なユニタリ作用素を関連付けることができ、計算の意味論が明確に定義される。
• $n$ 個のクォータニオンビットを用いた計算は、$n+1$ キュービットの量子回路によって、回路サイズの著しい増加なしにシミュレート可能である。
• このモデルは、標準的量子計算と計算的に同等であるため、クォータニオンを用いることで追加の計算能力が得られるわけではない。
• rebitシミュレーション（$n$ キュービットの量子回路を $n+1$ rebitsでシミュレート）に用いられる証明技法が、クォータニオンの場合に適応・一般化され、同じ同等性が示された。
• このモデルは、因果関係の破壊や非局所性の違反といった基礎的問題を示しており、クォータニオン振幅が物理的に自然ではない可能性を示唆している。