[論文レビュー] Quaternionic Fourier-Mellin Transform

Eckhard Hitzer|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ℝ² からクォータニオン ℍ への写像をとる関数のための古典的フーリエ・メルリン変換の一般化であるクォータニオン的フーリエ・メルチン変換（QFMT）を紹介する。クォータニオン代数と直交2次元平面分割（OPS）を活用することで、QFMTはスケールおよび回転不変な2次元信号の解析を可能にし、特にその内在的な2次元構造と対称性分解のおかげで、カラー画像処理やテクスチャ解析において優れた効果を発揮する。

ABSTRACT

In this contribution we generalize the classical Fourier Mellin transform [S. Dorrode and F. Ghorbel, Robust and efficient Fourier-Mellin transform approximations for gray-level image reconstruction and complete invariant description, Computer Vision and Image Understanding, 83(1) (2001), 57-78, DOI 10.1006/cviu.2001.0922.], which transforms functions $f$ representing, e.g., a gray level image defined over a compact set of $\mathbb{R}^2$. The quaternionic Fourier Mellin transform (QFMT) applies to functions $f: \mathbb{R}^2 ightarrow \mathbb{H}$, for which $|f|$ is summable over $\mathbb{R}_+^* imes \mathbb{S}^1$ under the measure $dθ\frac{dr}{r}$. $\mathbb{R}_+^*$ is the multiplicative group of positive and non-zero real numbers. We investigate the properties of the QFMT similar to the investigation of the quaternionic Fourier Transform (QFT) in [E. Hitzer, Quaternion Fourier Transform on Quaternion Fields and Generalizations, Advances in Applied Clifford Algebras, 17(3) (2007), 497-517.; E. Hitzer, Directional Uncertainty Principle for Quaternion Fourier Transforms, Advances in Applied Clifford Algebras, 20(2) (2010), 271-284, online since 08 July 2009.].

研究の動機と目的

• 古典的フーリエ・メルチン変換をクォータニオン値をとる関数へと拡張し、2次元における高度な信号表現を可能にする。
• 特に直交2次元平面分割（OPS）を特徴とするクォータニオンの代数的構造を活用し、物理的に意味のある成分に信号を分解する。
• スケーリングおよび回転変換に対して不変であるような変換を開発し、頑健な物体認識および画像登録に適したものとする。
• その内在的な2次元性のおかげで、QFMTが2次元テクスチャおよびカラー画像の解析において、複素数値変換を上回ることを示す。
• 将来のクラッフィ・代数への拡張、窓付き変換、数値実装の基盤を築くこと。

提案手法

• QFMTを、測度 dθ (dr/r) を持つ ℝ₊×𝕊¹ 上の積分変換として定義し、f: ℝ² → ℍ をクォータニオン値をとる変換領域へ写像する。
• 2つの純粋単位クォータニオン f および g に関する直交2次元平面分割（OPS）を用い、信号を q₊ および q₋ 成分に分解する。
• 回転およびスケーリングの下で構造を保存する変換恒等式を導出するため、指数写像 e^{αf} q e^{βg} を適用する。
• OPS から導かれる正規直交基底 {1+fg, f−g, 1−fg, f+g} を用いて、任意のクォータニオン q ∈ ℍ を表現し、係数分解を可能にする。
• 径方向および角度方向の反射に対する対称性タイプ（ee, eo, oe, oo）に対応する4つの成分の重ね合わせとして、QFMTのカーネルを構築する。
• QFMTの構造を活用し、スケールおよび回転不変性を達成し、変換の絶対値がこれらの変換に対して不変であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元信号処理におけるクォータニオン値関数を扱うために、古典的フーリエ・メルチン変換をどのように一般化できるか？
• RQ2 径方向（r → 1/r）および角度方向（θ → −θ）の反射に対して、QFMTカーネルの対称性特性は何か？
• RQ3 QFMTの内在的な2次元構造は、複素数値フーリエ・メルチン変換と比較して、テクスチャおよび形状解析をどのように向上させるか？
• RQ4 直交2次元平面分割（OPS）は、変換を物理的に解釈可能な成分に分解するために果たす役割は何か？
• RQ5 QFMTはクラッフィ代数 Cl(p,q) に拡張可能であり、超複素積分および画像登録タスクへの応用が可能か？

主な発見

• QFMTの絶対値はスケールおよび回転変換に対して不変であり、これにより物体記述の不変性が実現される。
• QFMTは自然に、径方向および角度方向の反射対称性に基づいた4つの対称性成分（ee, eo, oe, oo）に信号を分離する。
• QFMTカーネルはスケール不変性を示し、図8および図9に示すように、異なる (v,k) 値に対して異なる角度および径方向分解能パターンを示す。
• QFMTは、反対のねじれ方向を持つ2つの準複素FMTの重ね合わせと構造的に同等であることが、定理2.4で形式化されている。
• QFMTは、その内在的な2次元性のおかげで、2次元テクスチャの解析において、複素数2次元フーリエ・メルチン変換を上回ることを、図5で示した。
• QFMTのカーネル構造から、q₊ および q₋ 成分が直交する平面に対応しており、f()g 写像は q₋ 平面に対して180°回転として作用し、q₊ 成分を不変に保つことが明らかになった。