[論文レビュー] QUATERNIONIC GRASSMANNIANS AND PONTRYAGIN CLASSES IN ALGEBRAIC GEOMETRY

Ivan Panin, Charles Walter|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティックに向き付けられたコホモロジー理論におけるシンプレクティックバンドルのボレルクラスの理論を確立し、クaternion的グラスマンニアンのコホモロジーの計算を可能にする。このような理論において、クォaternion的射影空間 $\mathbb{HP}^n$ のコホモロジーが $A(\text{pt})[p]/(p^{n+1})$ に同型であることを証明し、$\mathbb{G}_a$-商を用いたセルに類似した分解を構成することで、代数幾何学におけるトポロジカルなクォaternion的空間との深い類似性を明らかにする。

ABSTRACT

Abstract. The quaternionic Grassmannian HGr(r,n) is the affine open subscheme of the ordinary Grassmannian parametrizing those 2r-dimensional subspaces of a 2n-dimensional symplectic vector space on which the symplectic form is nondegenerate. In particular there is HP n = HGr(1,n+1). For a symplectically oriented cohomology theory A, including oriented theories but also hermitian K-theory, Witt groups and algebraic symplectic cobordism, we have A(HP n) = A(pt)[p]/(p n+1). We define Pontryagin classes for symplectic bundles. They satisfy the splitting principle and the Cartan sum formula, and we use them to calculate the cohomology of quaternionic Grassmannians. In a symplectically oriented theory the Thom classes of rank 2 symplectic bundles determine Thom and Pontryagin classes for all symplectic bundles, and the symplectic Thom classes can be recovered from the Pontryagin classes. The cell structure of the HGr(r,n) exists in the cohomology, but it is difficult to see more than part of it geometrically. The exception is HP n where the cell of codimension 2i is a quasi-affine quotient of A 4n−2i+1 by a nonlinear action of Ga. 1.

研究の動機と目的

• トポロジーにおけるボレルクラスおよびトムクラスの理論を、シンプレクティックに向き付けられたコホモロジー理論を用いて代数幾何学へと拡張すること。
• 代数幾何学におけるクォaternion的グラスマンニアン $\operatorname{HGr}(r,n)$、特に $\mathbb{HP}^n = \operatorname{HGr}(1,n+1)$ のコホモロジーを研究すること。
• 代数的K理論およびコボルディズムにおけるトポロジカルなクォaternion的バンドル定理のモチーフ的類似を確立すること。
• $\mathbb{G}_a$-商およびビャリニツキ＝ビューラー分解を用いて、$\operatorname{HGr}(r,n)$ のセル構造を分析すること。

提案手法

• シンプレクティックに向き付けられたコホモロジー理論において、分割原理およびカルタン和公式を満たすシンプレクティックバンドルのボレルクラスを導入する。
• ユニバーサルシンプレクティックバンドルを $\operatorname{HGr}(r,n)$ 上に用いてボレルクラスを定義し、シンプレクティック向きの普遍的性質を介してトムクラスと関連付ける。
• $\mathbb{HP}^n$ の開ストラト $X_0 \subset \mathbb{HP}^n$ にビャリニツキ＝ビューラー分解を適用し、コドメイン $2i$ の場合に $\mathbb{A}^{4n-2i+1}$ の $\mathbb{G}_a$-商として実現する。
• ベクトルバンドルを $\operatorname{HGr}(E)$ 上で分析することで、$\operatorname{HGr}(F)$ に埋め込んだ $\operatorname{Gr}(2r,2n)$ の補集合を用いて、クォaternion的グラスマンニアンのコホモロジーにおける長い完全系列を構成する。
• コホモロジーにおける強いホモトピー不変性および切除法を用いて、包含写像 $A(k) \to A(\mathbb{A}^{2n})$ が同型であることを示し、これにより $t^A$ が同型であることを示す。
• 正規バンドルの構造およびベクトルバンドルの同型を用いて、$X_0$ がアフィン空間の $\mathbb{G}_a$-商であることを示し、各ストラトの閉包が低次元のクォaternion的グラスマンニアン上のベクトルバンドルであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何学において、分割原理およびカルタン和公式を満たすシンプレクティックバンドルのボレルクラスはどのように定義できるか？
• RQ2 シンプレクティックに向き付けられたコホモロジー理論におけるクォaternion的グラスマンニアン $\operatorname{HGr}(r,n)$ のコホモロジー構造はどのようなものか？
• RQ3 クォaternion的グラスマンニアン $\mathbb{HP}^n$ のセル分解は代数幾何学的に幾何学的に実現可能か？ もしそうなら、どのような群作用または商によって実現されるか？
• RQ4 シンプレクティックバンドルのトムクラスは、シンプレクティックに向き付けられた理論におけるボレルクラスとどのように関係するか？
• RQ5 $\mathbb{G}_a$-作用は、$\mathbb{HP}^n$ の開ストラトをアフィン空間の商として実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のシンプレクティックに向き付けられた理論 $A$ における $\mathbb{HP}^n$ のコホモロジーは、$A(\text{pt})[p]/(p^{n+1})$ に同型であり、トポロジカルな射影バンドル定理を一般化する。
• 開ストラト $X_0 \subset \mathbb{HP}^n$ は $\mathbb{A}^{4n+1}$ の $\mathbb{G}_a$-商に同型であり、各ストラト $X_{2i}$ は非線形な $\mathbb{G}_a$-作用による $\mathbb{A}^{4n-2i+1}$ の準アフィン商である。
• 閉包 $\overline{X}_{2i}$ は $\mathbb{HP}^{n-i}$ 上のランク $2i$ のベクトルバンドルであり、セル構造の幾何的実現を提供する。
• $\operatorname{HGr}(F)$ のコホモロジーにおける長い完全系列は、開ストラトの補集合が $\operatorname{HGr}(E)$ 上のベクトルバンドルであることから構成され、これにより局所化の議論が導かれる。
• ホモトピー不変性および切除法により、包含写像 $A(k) \to A(\mathbb{A}^{2n})$ が同型であり、これにより転送写像 $t^A$ が同型であることが示される。
• ビャリニツキ＝ビューラー分解における固定点集合の正規バンドルは $N = N_1 \oplus L$ に分解され、$N_1$ はバンドル写像のグラフである。また、$Z_0$ は $L$ のゼロ切断上の部分バンドル $N_1$ に同型である。