[論文レビュー] Quaternions, polarizations and class numbers

Víctor Rotger|ArXiv.org|Nov 6, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、全実体上のクaternion的乗法をもつアーベル多様体における主極小化の存在および数を、エイクラーの最適埋め込み理論とCM体の相対類数を用いて、数論的基準として確立する。偶数次元では、同型でない主極小化の数が無限に増大しうることを示し、奇数次元で平方自由な次元では、$2^{g-1}$ で一様に有界であることが示され、長年の主極小化の有限性に関する未解決問題が解決される。

ABSTRACT

We study abelian varieties $A$ with multiplication by a totally indefinite quaternion algebra over a totally real number field and give a criterion for the existence of principal polarizations on them in pure arithmetic terms. Moreover, we give an expression for the number $π_0(A)$ of isomorphism classes of principal polarizations on $A$ in terms of relative class numbers of CM fields by means of Eichler's theory of optimal embeddings. As a consequence, we exhibit simple abelian varieties of any even dimension admitting arbitrarily many non-isomorphic principal polarizations. On the other hand, we prove that $π_0(A)$ is uniformly bounded for simple abelian varieties of odd square-free dimension.

研究の動機と目的

• 全実数体 $F$ 上の完全非定義的クォータニオン代数による乗法をもつアーベル多様体における主極小化の存在と数を特定すること。
• エイクラーの最適埋め込み理論を介して、$\pi_0(A)$（主極小化の同型類の数）をCM体の相対類数の式として表現すること。
• 次元 $g$ の単純アーベル多様体が、同型でない主極小化を任意に多くもつことができるかどうかを解明すること。
• 奇数次元で平方自由な次元における単純アーベル多様体の $\pi_0(A)$ に対して一様な上限を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、エイクラーの最適埋め込み理論を用いて、主極小化の数え上げという幾何的問題を、CM体における順序に関わる算術的問題に翻訳する。
• $\pi_0(A)$ を、$R_F[\sqrt{-D}]$ を含む $F(\sqrt{-D})$ の順序 $S$ 全体にわたる、その類数 $h(S)$ を重みとする和として表現する。
• 重要な公式は $\pi_0(A) = \frac{1}{2}\sum_S h(S)$ であり、ここで $D$ は最大順序 $\mathcal{O}$ の縮約判別式イデアルの全正生成元である。
• ブラウアー＝シーゲルの定理を介して、CM体の相対類数に関する漸近的評価と推定を用いる、類数論からの解析的道具を適用する。
• チェボタレフの密度定理を活用して、互いに素な判別式と微分を持つ全正イデアル $D_j$ の族を構成し、それに対応するクォータニオン代数とアーベル多様体の存在を保証する。
• 奇数次元の場合の議論では、単位群とCM体におけるノルムの構造を用いたランゲの手法を適応し、$\pi_0(A)$ を $2^{g-1}$ で有界化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオン的乗法をもつ偶数次元のアーベル多様体は、同型でない主極小化を任意に多くもつことができるか？
• RQ2 奇数次元で平方自由な次元における単純アーベル多様体の主極小化の数は、一様に有界であるか？
• RQ3 このようなアーベル多様体における主極小化の同型類の数に対する正確な算術的公式は何か？
• RQ4 CM体の相対類数は、クォータニオン的アーベル多様体における主極小化の幾何にどのように関係するか？

主な発見

• 全実体 $F$ 上の完全非定義的クォータニオン代数における最大順序をもつ複素アーベル多様体 $A$（次元 $2n$）について、$\pi_0(A) = \frac{1}{2}\sum_S h(S)$ が成り立ち、ここで $S$ は $F(\sqrt{-D})$ の $R_F[\sqrt{-D}]$ を含む順序を走る。
• アーベル曲面の場合（$g=2$）、$D \equiv 3 \pmod{4}$ ならば $\pi_0(A) = \frac{h(-4D)+h(-D)}{2}$、それ以外の場合は $\frac{h(-4D)}{2}$ である。
• 偶数次元 $g$ に対しては、$|\mathrm{N}_{F/\mathbb{Q}}(D)| \to \infty$ となる族を構成し、漸近的類数推定を適用することで、$\pi_0(A)$ が任意に大きな値をとる単純アーベル多様体が存在することが示される。
• 奇数次元で平方自由な次元 $g$ に対しては、$\pi_0(A) \leq 2^{g-1}$ が成り立ち、等号成立は特定の単位群条件のもとでのみ可能である。
• $\pi_0(A)$ の対数的成長は、$\log \pi_0(A) \sim \log \sqrt{|\mathrm{N}_{F/\mathbb{Q}}(D)| \cdot D_F}$ を満たし、これはブラウアー＝シーゲルの定理による類数の漸近的性質から導かれる。
• 奇数次元で平方自由な次元における上限は鋭く、単位群の構造とCM体におけるノルムの解析により導かれる。これはランゲの初期の上限をクォータニオン的状況に拡張したものである。