[論文レビュー] Qudit circuits with SU(d) symmetry: Locality imposes additional conservation laws

Iman Marvian, Hanqing Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2021

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、SU(d)対称性を持つクワイッド系において、d ≥ 3 のとき、2局所的SU(d)不変ユニタリ回路が、ネーターの定理から得られる保存則に加えて追加の保存則を持つため、対称ユニタリの制限された部分集合を生成することを示している。これらの発生する保存則は、既約表現部分空間内での力学を制約し、ハール測度への収束や2-designを形成することを妨げる。これは、d=2（キュービット）の場合とは異なり、回路によって生成される分布がハール測度に収束しないことを意味する。

ABSTRACT

Local symmetric quantum circuits provide a simple framework to study the dynamics and phases of complex quantum systems with conserved charges. However, some of their basic properties have not yet been understood. Recently, it has been shown that such quantum circuits only generate a restricted subset of symmetric unitary transformations [I. Marvian, Nature Physics, 2022]. In this paper, we consider circuits with 2-local SU(d)-invariant unitaries acting on qudits, i.e., d-dimensional quantum systems. Our results reveal a significant distinction between the cases of d = 2 and d>2. For qubits with SU(2) symmetry, arbitrary global rotationally-invariant unitaries can be generated with 2-local ones, up to relative phases between the subspaces corresponding to inequivalent irreducible representations (irreps) of the symmetry, i.e., sectors with different angular momenta. On the other hand, for d>2, in addition to similar constraints on the relative phases between the irreps, locality also restricts the generated unitaries inside these conserved subspaces. These constraints impose conservation laws that hold for dynamics under 2-local SU(d)-invariant unitaries, but are violated under general SU(d)-invariant unitaries. Based on this result, we show that the distribution of unitaries generated by random 2-local SU(d)-invariant unitaries does not converge to the Haar measure over the group of all SU(d)-invariant unitaries, and in fact, for d>2, is not even a 2-design for the Haar distribution.

研究の動機と目的

• クワイッド系におけるSU(d)対称性をもつ局所的量子回路が及える動的制約を理解すること。
• 2局所的SU(d)不変ユニタリが、特にd ≥ 3 の場合にすべての対称ユニタリ変換を生成できるかどうかを特定すること。
• ランダムな2局所的SU(d)不変回路によって生成されるユニタリの分布が、ハール測度に収束するか、2-designを形成するかを同定すること。
• 特にd=2とd≥3のケースを区別する、局所性に起因する新たな保存則を解明すること。

提案手法

• SU(d)の表現論を用いて、2局所的SU(d)不変ゲートによって生成されるユニタリの群構造を分析する。
• クワイッド-フェルミオン対応を用いて保存量を同定し、クワイッド系を非自明な保存則を持つ有効フェルミオン模型に写像する。
• 2局所的SU(d)不変ユニタリに対して不変であるが、一般のSU(d)不変ユニタリに対しては不変でない明示的な関数を構成し、新たな保存則を明らかにする。
• SU(d)不変ゲートの生成子のリー代数構造を用いて、生成されるユニタリ群における代数的制約を特徴付ける。
• 2-designの基準（例：2-design）を用いて、回路によって生成されるユニタリ分布とSU(d)不変ユニタリ群上のハール測度を比較する。
• 文献[3]および[29]の結果を活用し、置換によって生成されるリー部分代数を完全に特徴付け、新たな保存則と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d ≥ 3 の場合に、2局所的SU(d)不変ユニタリ回路はすべてのSU(d)不変ユニタリを生成するのか、それとも追加の制約があるのか？
• RQ2 SU(d)対称クワイッド回路における保存則は、d=2とd≥3の間でどのように異なるのか？
• RQ3 局所性に起因して、SU(d)不変クワイッド系に新たな、ネーター則でない保存則が生じるのか？
• RQ4 ランダムな2局所的SU(d)不変回路によって生成されるユニタリの分布は、SU(d)不変ユニタリ群上のハール測度に収束するのか？
• RQ5 d ≥ 3 の場合に、回路によって生成されるユニタリ集合は、SU(d)不変ユニタリ群上のハール分布に対して2-designであるか？

主な発見

• d ≥ 3 の場合、2局所的SU(d)不変ユニタリ回路は、既約表現間の相対位相制約を超える追加の保存則のため、すべてのSU(d)不変ユニタリの真部分群を生成する。
• これらの新たな保存則は、既約表現部分空間内でも力学を制限しており、これはd=2（SU(2)）の場合には存在しない。
• d ≥ 3 の場合、ランダムな2局所的SU(d)不変回路によって生成されるユニタリの分布は、SU(d)不変ユニタリ群上のハール測度に収束しない。
• d ≥ 3 の場合、回路によって生成されるユニタリ集合は、ハール分布に対して2-designですらなく、一様性からの根本的逸脱を示している。
• 保存則はクワイッド-フェルミオン対応を通じて明らかにされ、2局所的SU(d)回路は非相互作用フェルミオン系に写像されるが、3局所的回路は相互作用系に写像される。
• 2局所的SU(d)不変ゲートによって生成される完全な群は、3種類の制約によって特徴付けられる：既約表現間の相対位相制約、Z₂対称性制約、およびクワイッド-フェルミオン対応に基づく保存則。