[論文レビュー] Quelques remarques sur la décomposition de Zariski divisorielle sur les variétés dont la première classe de Chern est nulle

Stéphane Druel|ArXiv.org|Feb 6, 2009

Geometry and complex manifolds被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、正則な概型の標準類が自明な滑らかな射影的多様体における除因子的ザリスキ分解の性質を確立し、有効なR-除因子に対しては、負の部分が双有理的収縮の成分から生じることを証明している。また、大きなQ-除因子に対しては、負の部分が有理的であることを示している。さらに、最小モデルプログラムおよびシンプレクティック幾何学の結果を用いて、ホロモルフィックシンプレクティック多様体上の特異的除因子を、負の交点を持つ有理曲線によって特徴付けている。

ABSTRACT

We study the divisorial Zariski decomposition on varieties whose first Chern class is zero. We first prove that any exceptional divisor is contractible (up to a birational map that is an isomorphism in codimension one). We then characterize prime exceptional divisors on holomorphic symplectic manifolds.

研究の動機と目的

• 第一チャーン類が自明な多様体における除因子的ザリスキ分解の構造を調査すること。
• ザリスキ分解の負の部分がいつ有理的であるか、または双有理的収縮から生じるかを特定すること。
• ホロモルフィックシンプレクティック多様体上の特異的除因子を、幾何的および数値的条件を用いて特徴付けること。
• 表面およびハイパーケーラー多様体における結果を、c₁(X) = 0 を満たす高次元多様体へと拡張すること。
• 最小モデルプログラムおよびkltペアに関する最近の結果を用いて、ザリスキ分解の双有理的有理化を確立すること。

提案手法

• R-除因子Dを数的に効果的部P(D)と有効な負の部N(D)に分解する除因子的ザリスキ分解の枠組みを用いる。
• BCHM（2006）およびHacon-McKernan（2008）の結果を用いて、最小モデルプログラム（MMP）を適用し、分解の有理的性を確立する。
• 曲線の収縮可能性を示すArtinの基準を用い、N(D)の成分が正規多様体へ双有理的写像によって収縮可能であることを示す。
• kltペア(K_X + Δ)および擬効果的性の理論を用いて、負の部分の構造を分析する。
• シンプレクティック幾何学的技法を適用し、超曲面上の特徴的分布および接バンドルの引き戻しにおける挙動を用いる。
• 有理曲線に沿ったシンプレクティック形式および接バンドルの制限を分析し、特異的除因子の幾何的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c₁(X) = 0 を満たす多様体におけるザリスキ分解の負の部分N(D)が、いつ双有理的収縮から生じるか。
• RQ2 大きなQ-除因子Dに対して、負の部分N(D)がいつ有理的（すなわちQ-除因子）であるか。
• RQ3 ホロモルフィックシンプレクティック多様体上の特異的素除因子Eを特徴付ける幾何的条件は何か。
• RQ4 除因子E上の有理曲線の挙動は、そのシンプレクティック構造および収縮可能性とどのように関係するか。
• RQ5 MMPおよびkltペア理論を用いて、Calabi-Yau多様体におけるザリスキ分解を有理化できるか。

主な発見

• c₁(X) = 0 を満たす滑らかな射影的多様体X上の任意の有効なR-除因子Dに対して、N(D)のすべての成分を正規多様体X′に収縮する双有理写像φ: X ⇢ X′が存在する。
• このような多様体上の大きなQ-除因子Dに対して、N(D)はQ-除因子である。これは、負の部分の有理的性を示している。
• ホロモルフィックシンプレクティック多様体X上では、素除因子Eが特異的であることと、Eの一般点を通る有理曲線ℓ ⊂ EがE · ℓ < 0 を満たすことは同値である。
• シンプレクティック多様体上の特異的除因子Eに対して、滑らかなシンプレクティック多様体X′への双有理的写像φ: X ⇢ X′と、Y′が射影的かつ正規な射影の双有理的写像c′: X′ → Y′が存在し、その特異的分岐集合はE′ = φ(E)である。
• 一般の有理曲線f: P¹ → X′の接バンドルがf*TXの非負部分へ写される。これは、有理曲線の幾何とシンプレクティック構造との関連を示している。
• E′上の特徴的分布はfの像に接する。また、f(P¹)はこの分布の葉の閉包である。これにより、シンプレクティック幾何学的制御が裏付けられる。