[論文レビュー] Quelques remarques sur la notion de modification affine

Adrien Dubouloz|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、KalimanとZaidenbergのアフィン修正の概念のグローバル版を導入し、準射影的多様体へと拡張する。任意の準射影的多様体間のアフィン被りこみ写像が、一対の（イデアル層、有効なカーティエ除集合）によって定義されるグローバルアフィン修正として生じることを証明し、Rees代数と主イデアル (1−t) による商を用いた標準的なスキーム論的構成により、完全な構造的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We construct a global counterpart to the notion of affine modification due to Kaliman and Zaidenberg. This leads to a simple explicit description of the structure of birational affine morphisms between arbitrary quasi-projective varieties.

研究の動機と目的

• KalimanとZaidenbergの局所的アフィン修正の概念を、準射影的多様体に適用可能なグローバルな枠組みへ一般化すること。
• 任意の体上の準射影的多様体間のアフィン被りこみ写像について、完全な構造的記述を提供すること。
• 従来の手法における非標準的な局所的データの問題を解決するため、グローバルかつ内在的な構成を構築すること。
• Rees代数の商を用いて、吹き上げにおける除集合の正準的変換の補集合をアフィンスキームとして特徴付けること。
• 古典的な吹き上げを一般化する形で、アフィン被りこみ写像と一対 (イデアル層, 有効なカーティエ除集合) の間の対応関係を確立すること。

提案手法

• X に対するグローバルアフィン修正を、X 上の有限型の準連接イデアル層 $\mathcal{I}$ と、$\mathcal{I} \supset \mathcal{O}_X(-D)$ を満たす有効なカーティエ除集合 $D$ からなる一対 $(\mathcal{I}, D)$ を用いて定義する。
• 修正スキームを $\sigma_{\mathcal{I},D} : \mathbf{Spec}(\mathcal{O}_X[\mathcal{I}/D]) \to X$ として構成し、ここで $\mathcal{O}_X[\mathcal{I}/D]$ は、Rees代数 $\bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{I} \otimes \mathcal{O}_X(D))^n t^n$ の $1 - t$ によって生成されるイデアルによる商である。
• 射 $\mathbf{Proj}_X(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n t^n)$ への標準的な開埋め込みを用いて、修正が $D$ の正準的変換の補集合として同定されることを示す。
• 準射影的 $X$ にアーマンラインバンドルが存在することを活用し、分母のイデアル層の構成を可能にするグローバルセクションの構成を可能にする。
• Rees代数および分数イデアルの理論を適用して、構成が適切に定義され、局所化と整合することを保証する。
• 任意のアフィン被りこみ写像 $\pi: Y \to X$ が、$\mathcal{O}_Y$ の押し出しから適切な $\mathcal{I}$ と $D$ を構成することで、このようなグローバル修正として生じることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KalimanとZaidenbergの局所的アフィン修正の概念を、準射影的多様体に適用可能なグローバルかつ内在的な構成へ拡張できるか？
• RQ2 準射影的多様体の吹き上げにおける除集合の正準的変換の補集合の正確なスキーム論的構造は何か？
• RQ3 イデアル層と除集合を用いて、準射影的多様体間のアフィン被りこみ写像をグローバルに特徴付ける方法は何か？
• RQ4 アフィン修正の局所的構成が、どのようにして一貫したグローバル写像へ貼り合わされるか？
• RQ5 任意のアフィン被りこみ写像 $\pi: Y \to X$ に対して、$Y$ がアフィン修正 $X_{\mathcal{I},D}$ と同型になるような、一対 $(\mathcal{I}, D)$ を標準的に関連付ける方法はあるか？

主な発見

• 任意の体 $k$ 上の準射影的多様体 $Y$ から準射影的多様体 $X$ へのアフィン被りこみ写像 $\pi: Y \to X$ は、ある一対 $(\mathcal{I}, D)$ に対して、グローバルアフィン修正 $\sigma_{\mathcal{I},D}: X_{\mathcal{I},D} \to X$ と同型である。
• 構成 $X_{\mathcal{I},D} = \mathbf{Spec}(\mathcal{O}_X[\mathcal{I}/D])$ は、$\mathcal{I} \otimes \mathcal{O}_X(D)$ が構造層 $\mathcal{O}_X$ を含むため、定数セクション $1$ が存在することにより、適切に定義される。
• スキーム $X_{\mathcal{I},D}$ は、$Z = \mathrm{Supp}(\mathcal{O}_X / \mathcal{I})$ とおくとき、吹き上げ $\mathrm{Bl}_Z X$ における $D$ の正準的変換 $D^{pr}$ の補集合として同定される。
• 局所的には、アフィン開被覆 $X_i$ 上で、修正 $X_{\mathcal{I},D}|_{X_i}$ は、$D$ の局所方程式 $f_i$ の非消滅点に対応する $\left(\mathbf{Proj}_{X_i}(\mathcal{O}_{X_i}[\mathcal{I}_i t])\right)_{f_i}$ に同型である。
• 古典的な場合が回復される：$\mathcal{I} = \mathcal{O}_X$ のとき、修正 $X_{1,D}$ は $X$ における $\mathrm{Supp}(D)$ の補集合、すなわち $\mathcal{O}_X(D)$ の標準的セクションが消えない開集合に同型である。
• $X$ にアーマンラインバンドルが存在することにより、分母のイデアル層の構成を可能にするグローバルセクションの存在が保証され、$\pi_*\mathcal{O}_Y$ のグローバル実現が分数イデアルとして可能になる。