[論文レビュー] Quenched and annealed equilibrium states for random Ruelle expanding maps and applications

Manuel Stadlbauer, Paulo Varandas+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ポーランド空間上の確率的ルエル拡張写像に対して、転送作用素の半群作用を用いて、クエンチドおよびアンネールド平衡状態の存在を確立する。指数的相関関数の崩壊、クエンチド測度のホルダー連続性を証明し、アンネールド状態がクエンチド状態からどのように導かれるかを示す。これにより、コンパクトでない位相空間および定常的でない確率性の枠組みを超えて、先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we describe the spectral properties of semigroups of expanding maps acting on Polish spaces, considering both sequences of transfer operators along infinite compositions of dynamics and integrated transfer operators. We prove that there exists a limiting behaviour for such transfer operators, and that these semigroup actions admit equilibrium states with exponential decay of correlations and several limit theorems. The reformulation of these results in terms of quenched and annealed equilibrium states extend results by Baladi (1997) and Carvalho, Rodrigues & Varandas (2017), where the randomness is driven by a random walk and the phase space is assumed to be compact. Furthermore, we prove that the quenched equilibrium measures vary Hölder continuously and that the annealed equilibrium states can be recovered from the latter. Finally, we give some applications in the context of weighted non-autonomous iterated function systems, free semigroup actions and on the boundary of equilibria.

研究の動機と目的

• 非自己同型かつ非定常的ダイナミクスのルエル拡張写像の熱力学的形式主義を、非コンパクトなポーランド空間へ拡張すること。
• 位相空間が非コンパクトであり、基準測度 P を仮定しない状況において、クエンチドおよびアンネールド平衡状態の存在を確立すること。
• 一般条件下で、クエンチド平衡測度の指数的相関関数の崩壊およびホルダー連続性を証明すること。
• パス空間上での積分により、アンネールド平衡状態がクエンチド測度から回復可能であることを示すこと。
• 非自己同型反復関数系、自由半群作用、境界平衡状態への応用を含むフレームワークの適用。

提案手法

• ポーランド空間上における無限個のルエル拡張写像の合成に沿った転送作用素の半群作用を分析する。
• バーゼルシュタイン距離における収縮を用いて、転送作用素の収束および平衡状態の存在を証明する。
• ルエル作用素理論の再定式化を、写像の列に適用することで、非定常的ダイナミクスの取り扱いを可能にする。
• 典型的な確率的軌道に沿った条件付き測度としてクエンチド平衡状態を定義し、すべてのパス上の平均としてアンネールド状態を定義する。
• 空間 H 内のホメオモルフィズムを用いた符号化による反復的再構成法を用い、初期データからダイナミクスを再構成する。
• 摂動の周期性および符号パターンに基づいて、半群語 (S^m T^n) の指数の再帰的再構成を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトなポーランド空間上における確率的ルエル拡張写像に対して、クエンチドおよびアンネールド平衡状態を構成可能か？
• RQ2 これらの平衡状態は、クエンチド設定において指数的相関関数の崩壊およびホルダー連続性を示すか？
• RQ3 定常測度が存在しない状況で、アンネールド平衡状態はクエンチド測度からどのように回復可能か？
• RQ4 転送作用素の半群が、非自己同型ダイナミクスの統計的性質を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ5 熱力学的形式主義は、重み付きダイナミクスを伴う自由半群作用および非自己同型IFSへ拡張可能か？

主な発見

• 無限個のルエル拡張写像の合成に沿った転送作用素の半群作用は、極限的挙動を示し、平衡状態の存在を保証する。
• 適切な正則性条件の下で、クエンチド平衡測度は存在し、確率的パスに対してホルダー連続に変化する。
• クエンチドおよびアンネールド平衡状態の両方において、指数的相関関数の崩壊が成立し、強い統計的安定性を示す。
• アンネールド平衡状態は、パス空間上でのクエンチド測度の積分により得られ、アンネールド圧力はクエンチド圧力の平均に等しい。
• この構成により、{S,T}^N 内の無限語と最大エントロピー測度との間の全単射対応が得られ、半群が自由であることを証明する。
• 非自己同型の共形的IFSおよび半群作用の文脈では、このフレームワークにより不変測度の構成と境界平衡状態の記述が可能となる。