[論文レビュー] Quenched central limit theorem for the stochastic heat equation in weak disorder

Yannic Broeker, Chiranjib Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ において弱い不純度のもとで、確率的熱方程式に対してクエンチド中心極限定理を確立し、拡散スケーリングを施したポリマー路の測度がほとんど確実に標準正規分布に収束することを証明する。正規化されたフェインマン＝ハラス表現とモーメント収束技術を用いて、$\beta > 0$ が十分小さい場合、クエンチド測度の下でのスケーリング済みブラウン運動の分布が、長時間極限において標準正規分布に収束することを示している。

ABSTRACT

We continue with the study of the mollified stochastic heat equation in $d\geq 3$ given by $d u_{ε,t}=\frac 12Δu_{ε,t}+ βε^{(d-2)/2} \,u_{ε,t} \,d B_{ε,t}$ with spatially smoothened cylindrical Wiener process $B$, whose (renormalized) Feynman-Kac solution describes the partition function of the continuous directed polymer. In an earlier work (\cite{MSZ16}), a phase transition was obtained, depending on the value of $β>0$ in the limiting object of the smoothened solution $u_ε$ as the smoothing parameter $ε o 0$ This partition function naturally defines a quenched polymer path measure and we prove that as long as $β>0$ stays small enough while $u_ε$ converges to a strictly positive non-degenerate random variable, the distribution of the diffusively rescaled Brownian path converges under the aforementioned polymer path measure to standard Gaussian distribution.

研究の動機と目的

• $d \geq 3$ における連続的指向ポリマーに対して、弱い不純度のもとでクエンチド中心極限定理を確立すること。
• 滑らかにした確率的熱方程式の解によって定義されるポリマー路の測度の長時間挙動を分析すること。
• クエンチド測度の下で、スケーリング済みポリマー路分布がほとんど確実に標準正規分布に収束することを証明すること。
• 厳密な確率的PDE技術を用いて、離散的ポリマーの結果を連続的設定に拡張すること。

提案手法

• 空間時間白熱ノイズを伴う滑らかにした確率的熱方程式を用い、滑らかにした関数 $\phi_\varepsilon$ を用いて正則化する。
• フェインマン＝ハラスの公式を適用して、確率的指数関数的機能付きブラウン運動上の期待値として解を表現する。
• 時間反転を用いて、解を連続的指向ポリマーの分配関数に関連付ける。
• モーメント生成関数技術と多次元ヘルミート多項式展開を用いて、モーメントの収束を分析する。
• 発散するノイズを取り扱うために正規化手順を適用し、$\varepsilon$ に依存する $V_\varepsilon(0)$ 項を除去する。
• クエンチド測度の下でのモーメントへの収束を示すために、モーメントに関する帰納法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クエンチド測度の下で、拡散スケーリングを施したポリマー路は、長時間極限において正規分布に収束するか？
• RQ2 弱い不純度のもとで、$d \geq 3$ における連続的確率的熱方程式に対してクエンチド中心極限定理を確立できるか？
• RQ3 スケーリング済みポリマー路のモーメントは、クエンチド測度の下でどのように収束するか？
• RQ4 不純度の強さ $\beta$ は、極限分布を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 ノイズの各実現について、ほとんど確実に収束が証明できるか？

主な発見

• $d \geq 3$ かつ十分に小さい $\beta > 0$ の場合、拡散スケーリングを施したポリマー路のクエンチド分布は、ほとんど確実に標準正規分布に収束する。
• 収束は、すべてのモーメントが標準正規分布のモーメントにほとんど確実に収束することによって確立される。
• 証明は、クエンチド測度の下でのスケーリング済みパスのモーメントが、標準正規分布の対応するモーメントに収束することを示すことに依存している。
• 主な技術的ステップは、ヘルミート多項式展開と係数一致を用いた、モーメントに関する帰納法である。
• 結果は、空間時間白熱ノイズの固定された各実現について成り立つため、クエンチド極限定理が確認される。
• 正規化されたフェインマン＝ハラス解により $\mathbb{E}[u_\varepsilon(t,x)] = 1$ が保証され、これはモーメント解析にとって重要である。