[論文レビュー] Quenched Invariance Principle for a class of random conductance models with long-range jumps

Marek Biskup, Xin Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 62被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、d ≥ 2 における Z^d 上の連続時間のランダムウォーク（長距離遷移を伴う）に対して、確率的でエルゴディックな伝導度の下で、クエンチド不変性原理（QIP）を確立する。正規化関数法、関数不等式、および熱核推定を組み合わせることで、伝導度およびその逆数のモーメント条件の下でQIPを証明し、非一様な強凸性を持つ長距離モデルへ既存の結果を拡張する。主な貢献は、ある種の長距離パーコレーションモデル（指数が d+2 から 2d の間）では正規化関数の局所的非線形性が成立しないことから、正規化関数のグローバルな非線形性を要求しない、新たな証明戦略を確立したことである。

ABSTRACT

We study random walks on $\mathbb Z^d$ (with $d\ge 2$) among stationary ergodic random conductances $\{C_{x,y}\colon x,y\in\mathbb Z^d\}$ that permit jumps of arbitrary length. Our focus is on the Quenched Invariance Principle (QIP) which we establish by a combination of corrector methods, functional inequalities and heat-kernel technology assuming that the $p$-th moment of $\sum_{x\in\mathbb Z^d}C_{0,x}|x|^2$ and $q$-th moment of $1/C_{0,x}$ for $x$ neighboring the origin are finite for some $p,q\ge1$ with $p^{-1}+q^{-1}<2/d$. In particular, a QIP thus holds for random walks on long-range percolation graphs with connectivity exponents larger than $2d$ in all $d\ge2$, provided all the nearest-neighbor edges are present. Although still limited by moment conditions, our method of proof is novel in that it avoids proving everywhere-sublinearity of the corrector. This is relevant because we show that, for long-range percolation with exponents between $d+2$ and $2d$, the corrector exists but fails to be sublinear everywhere. Similar examples are constructed also for nearest-neighbor, ergodic conductances in $d\ge3$ under the conditions complementary to those of the recent work of P. Bella and M. Sch\"affner. These examples elucidate the limitations of elliptic-regularity techniques that underlie much of the recent progress on these problems.

研究の動機と目的

• Z^d 上のランダム伝導度の下で、長距離遷移を伴うランダムウォークに対してクエンチド不変性原理（QIP）を確立すること。
• 既存のQIP結果を最近接近モデルに限らず、任意の遷移長を含むモデルへ拡張すること。
• 正規化関数が至る所で非線形である必要がない、新たな証明戦略を開発すること。これは、ある種の長距離パーコレーションモデルでは正規化関数が非線形でない場合があるためである。
• 反例の構成を通じて、モーメント条件の鋭さを特定すること。この場合、正規化関数は存在するが、至る所で非線形でない。
• 非一様な強凸性を持つ伝導度モデルにおいて、楕円的正則性技法の限界を明確にすること。

提案手法

• プロセスのマルティングル部分を制御するため、正規化関数に基づくアプローチを用いる。
• 環境がウォークに依存するのを制御するため、関数不等式および熱核推定を適用する。
• モーメント条件を課す：E[∑_x C_{0,x}|x|^2]^p < ∞ および E[1/C_{0,x}]^q < ∞（|x|=1）で、1/p + 1/q < 2/d を満たす。
• 長距離パーコレーションの明示的例を構成し、伝導度指数が (d+2, 2d) の範囲にある場合に、正規化関数は存在するが、至る所で非線形でないことを示す。
• スケール L_k をネストさせたブロック構成を用いて、エッジ上の伝導度を定義し、伝導度分布の定常性およびエルゴディシティを保証する。
• ボレル＝カンテリの補題を用いて、特定の大規模幾何的構造がほとんど確実に無限回発生することを示し、非線形性の反例の構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z^d 上の長距離遷移を伴うランダムウォークに対して、クエンチド不変性原理（QIP）が成立するモーメント条件は何か？
• RQ2 正規化関数が至る所で非線形である必要がない場合、QIPは確立可能か？
• RQ3 非一様な強凸性を持つ長距離伝導度モデルにおけるQIPのモーメント条件の鋭さは何か？
• RQ4 正規化関数が非線形でないモデルでは、楕円的正則性技法が失敗するか？
• RQ5 正規化関数は存在するが、至る所で非線形でない反例を構成可能か？ ただし、QIPは依然として成立する。

主な発見

• d ≥ 2 における Z^d 上の長距離ランダム伝導度モデルに対して、モーメント条件 1/p + 1/q < 2/d（p, q > 1）の下でクエンチド不変性原理（QIP）が成立する。
• 証明は、正規化関数のグローバルな非線形性を要求せず、これが主な新規性であり、正規化関数が至る所で非線形でないモデルへも本手法を適用可能であることを可能にする。
• 長距離パーコレーションで接続性指数 α ∈ (d+2, 2d) の場合、正規化関数は存在するが、至る所で非線形でない。これは、QIPの成立に非線形性が必須でないことを示している。
• モーメント条件 1/p + 1/q < 2/d は、条件が満たされない場合に手法が破綻することから、ほぼ鋭いものであることが示された。
• d ≥ 3 において、明示的なエルゴディックで非一様な強凸性を持つ伝導度モデルの例を構成し、正規化関数は存在するが、非線形でないことを示した。これにより、楕円的正則性に基づくアプローチの限界が明確になった。