[論文レビュー] Quenched large deviations for multidimensional random walk in random environment: a variational formula

Jeffrey M. Rosenbluth|ArXiv.org|Apr 9, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、従来の部分加法的エルゴード定理に依存せず、ミニマックス定理のアプローチを用いて、次元が多様な近接隣接ランダムウォークのクエンチド大偏差原理を確立する。環境のエルゴード性とモーメント条件の下で、クエンチドレート関数の変分公式を導出し、以前の研究で必要とされたネスリングまたは一様楕円環境の仮定を排除した。

ABSTRACT

We take the point of view of the particle in a multidimensional nearest neighbor random walk in random environment (RWRE). We prove a quenched large deviation principle and derive a variational formula for the quenched rate function. Most of the previous results in this area rely on the subadditive ergodic theorem. We employ a different technique which is based on a minimax theorem. Large deviation principles for RWRE have been proven for i.i.d. nestling environments subject to a moment condition and for ergodic uniformly elliptic environments. We assume only that the environment is ergodic and the transition probabilities satisfy a moment condition.

研究の動機と目的

• 従来の研究よりも弱い仮定の下で、多変数近接隣接ランダムウォークのクエンチド大偏差原理を確立すること。
• 部分加法的エルゴード定理に依存せずに、クエンチドレート関数の変分公式を導出すること。
• 一様楕円またはネスリング環境の仮定を不要にするように、既存の結果を拡張すること。
• ミニマックス定理とエルゴード理論の手法を用いて、対数モーメント生成関数を分析すること。
• 環境がモーメント条件 $\int |\log p(\omega,e)|^{d+\alpha} < \infty$ を満たすエルゴード環境に対して有効な一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 環境を粒子から見た視点でモデル化し、可測変換が可換で測度を保つエルゴード族を持つ確率空間として扱う。
• Ky Fanのミニマックス定理を適用して、対数モーメント生成関数の上限を導出し、部分加法性に依存しない。
• 多次元エルゴード定理と等連続性の議論を用いて、モーメント生成関数の収束を分析する。
• 超martingale $R_n = \exp(\theta X_n + \sum_{j=1}^n F(X_{j-1},X_j) - n\lambda)$ を定義し、指数的モーメントの上限を導出する。
• 双対性を用いて、集合 $A$（$R_n$ が超martingale である $(\theta, \lambda)$ のペア）を用いて、レート関数の変分公式を導出する。
• 条件付き期待値と $\mathcal{E}_k$-可測関数による近似を用いて、変分式における遷移確率の最適化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様楕円またはネスリング環境の仮定なしに、多変数RWREのクエンチド大偏差原理を確立できるか？
• RQ2 環境のエルゴード性とモーメント条件の下で、クエンチドレート関数の構造はどのように規定されるか？
• RQ3 部分加法的エルゴード定理が適用できない状況で、ミニマックス定理をどのように用いて大偏差の上限を導出できるか？
• RQ4 一様楕円性が成り立たない状況下で、クエンチドレート関数と対数モーメント生成関数の関係は何か？
• RQ5 変分公式として得られたレート関数は、環境のエルゴード性および遷移確率構造とどのように関係しているか？

主な発見

• 環境のエルゴード性とモーメント条件 $\int |\log p(\omega,e)|^{d+\alpha} < \infty$（ある $\alpha > 0$）の下で、多変数近接隣接ランダムウォークのクエンチド大偏差原理が確立された。
• クエンチドレート関数は変分公式で与えられる：$I(x) = \sup_{\lambda} \{ \theta x - \lambda \}$ で、$\theta = \sup \{ \theta : (\theta, \lambda) \in A \}$ であり、$A$ は超martingale 条件によって定義される。
• 証明は部分加法的エルゴード定理を回避し、代わりにミニマックス定理とエルゴード理論に依存しており、より広範な適用可能性を有する。
• レート関数が凸かつ下半連続であることが示され、変分公式は1次元の場合に既知の結果と一致する。
• 1次元の場合、導出されたレート関数は従来の結果と同等であり、より単純な設定での手法の妥当性が検証された。
• 変分問題における最適遷移確率の明示的表現が得られた：$q^*(e) \propto \exp(\langle \lambda, e \rangle + \mathbb{E}[\log p(e) + h - T_e h \mid \mathcal{E}_k])$。