[論文レビュー] Quenches in quantum many-body systems: One-dimensional Bose-Hubbard model reexamined

Guillaume Roux|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Oct 21, 2008

Quantum many-body systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、クエンチされた量子多体系における時間平均密度行列 $\overline{\rho}$ を計算するためのランツォス対角化法を導入し、1次元ボーズ・ハッブルモデルに適用している。これにより、摂動的（ボルツマン型に近い）なクエンチ領域から非摂動的領域への遷移が明らかとなり、有限系においてもエネルギーゆらぎとエントロピーを通じて初期状態の記憶が $\overline{\rho}$ に保持されていることが示された。

ABSTRACT

When a quantum many-body system undergoes a quench, the time-averaged density-matrix $ρ$ governs the time-averaged expectation value of any observable. It is therefore the key object to look at when comparing results with equilibrium predictions. We show that the weights of $ρ$ can be efficiently computed with Lanczos diagonalization for relatively large Hilbert spaces. As an application, we investigate the crossover from perturbative to non-perturbative quenches in the non-integrable Bose-Hubbard model: on finite systems, an approximate Boltzmann distribution is observed for small quenches, while for larger ones the distributions do not follow standard equilibrium predictions. Studying thermodynamical features, such as the energy fluctuations and the entropy, shows that $ρ$ bears a memory of the initial state.

研究の動機と目的

• 孤立系におけるクエンチ後の時間平均密度行列 $\overline{\rho}$ を体系的に計算する手法の開発。
• 非可積分系において $\overline{\rho}$ が、例えばマイクロカノニカル分布やカノニカル分布といった平衡統計力学的集合に従うかどうかの調査。
• エネルギーゆらぎやエントロピーといった熱力学的特徴が、$\overline{\rho}$ に初期状態の記憶をどのように符号化しているかの特定。
• $(U_i, U_f)$ パラメータ空間におけるクエンチされた1次元ボーズ・ハッブル系の相図のマッピングと有限サイズスケーリングの分析。
• 平衡状態における臨界点 $U_c$ が非平衡ダイナミクスおよびクエンチ領域間の遷移に果たす役割の解明。

提案手法

• クエンチ後のハミルトニアン $\mathcal{H}$ の固有状態および固有値を計算するためにランツォス対角化（LD）が用いられ、大きなヒルベルト空間へのアクセスが可能になった。
• 初期状態 $|\psi_0\rangle$ とクエンチ後の固有状態 $|\phi_n\rangle$ の重ね合わせ係数 $p_n = |\langle\psi_0|\phi_n\rangle|^2$ を用いて、時間平均密度行列 $\overline{\rho} = \sum_n p_n |\phi_n\rangle\!\langle\phi_n|$ が構築された。
• 時間発展演算子を直接計算するのではなく、対角集合に注目することで、時間平均観測量 $\overline{O} = \text{Tr}[\overline{\rho} O]$ を記述する方法を採用した。
• $\overline{\rho}$ の熱力学的特徴を定量化し、平衡集合からのずれを評価するために、エネルギーゆらぎ $\Delta E$ とエントロピー $S[\overline{\rho}]$ が計算された。
• 有限サイズスケーリングを $\Delta F_c$、$\lambda_c$、相対的エネルギーゆらぎに適用し、収束性の分析と臨界行動の特定を行った。
• 相対的エネルギーゆらぎ $\Delta E/E$ を再スケーリングすることで、初期状態の相関に依存する寄与を分離し、スーパーフルイド相では $1/\sqrt{L}$ スケーリングが顕在した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クエンチされた1次元ボーズ・ハッブル模型において、時間平均密度行列 $\overline{\rho}$ は、マイクロカノニカル分布やカノニカル分布といった標準的な平衡集合に従うか？
• RQ2 エネルギーゆらぎとエントロピーが、特に可積分でない系において、初期状態の記憶をどのように反映しているか？
• RQ3 1次元ボーズ・ハッブル模型における摂動的領域と非摂動的領域の間の遷移の性質は何か？
• RQ4 有限サイズ効果は、臨界点 $\Delta F_c$ の位置や $\lambda_c$ のスケーリングにどのように影響を与えるか？
• RQ5 平衡状態の臨界点 $U_c$ は、クエンチ後の非平衡ダイナミクスをどの程度支配するか？

主な発見

• 小さなクエンチでは、$\overline{\rho}$ の重み $p_n$ は近似的にボルツマン分布に従い、摂動的領域であることが示された。
• 大きなクエンチでは、$p_n$ の分布は平衡集合から著しく逸脱し、非摂動的領域における非平衡統計が顕在した。
• 相対的エネルギーゆらぎ $\Delta E/E$ は $f(U_i, L)/\sqrt{L}$ の形でスケーリングし、$f$ は系サイズ $L$ に対してほとんど依存しない。これはスーパーフルイド相における $1/\sqrt{L}$ スケーリングと整合的である。
• $\overline{\rho}$ のエネルギーゆらぎは、初期状態の密度-密度相関に依存し、$\Delta E$ は $\sqrt{L} \, g(L)$ の形でスケーリングする。ここで $g(L)$ は代数的相関の指数 $\alpha$ に依存する。
• $\overline{\rho}$ の粒子あたりエントロピー $s$ はクエンチ強度 $\lambda$ とともに連続的に増加し、同じ平均エネルギーを持つ2つの状態が異なるエントロピーを持つことがある。これは初期状態の記憶が保持されていることを確認した。
• 有限サイズスケーリングの結果、クエンチ領域遷移点 $\lambda_c(L)$ は、大きな $U_{i,f}$ の場合、平衡臨界点 $\lambda_c^{eq}$ からずれてスケーリングすることが判明した。これは $U_c$ が非平衡遷移を制御しないことを示唆している。