[論文レビュー] Questions about determinants and polynomials

Steve Fisk|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Matrix Theory and Algorithms被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$ P^{+}_1 $、$ P^{+}_2 $、および関連クラスに属する多項式の係数から構築された構造的行列の行列式から得られる多項式の安定性および正性の性質を調査する。行列式に基づく構成が正性および安定性を保つ、すなわち結果として得られる多項式が $ P^{+}_1 $ に属するか安定であることを、再帰的行列変換、交互条件、および小行列解析を通じて示す。主な結果は次数4まで検証されており、高次の場合には記号計算によって裏付けられている。

ABSTRACT

We discuss several conjectures about the real-rootedness of polynomials whose coefficients are determinants of coefficients of a real-rooted polynomial. We also consider some questions about matrices generalizing totally positive matrices, namely totally stable matrices and totally upper matrices.

研究の動機と目的

• 正の係数を持つ多項式に対する行列式に基づく変換が、安定または正の多項式を生成するための条件を確立すること。
• 多項式 $ P^{+}_1 $ および $ P^{+}_2 $ の係数列から導かれる行列構成において、安定性および正性がどのように保存されるかを調査すること。
• このような多項式から得られる無限大行列の小行列が、安定または完全正であるかどうかを分析すること。
• 一変数および多変数設定における、交互多項式、行列式構成、および完全正性の相関関係を探索すること。

提案手法

• 多項式クラスの定義：$ P^{+}_1 $（正の係数、負の実根）、$ U_d $（上半平面で零点をもたない）、$ \tfrac{1}{2}H_1 $（Hurwitz安定）。
• 入力多項式の係数からなるトーペリッツに類似した行列の行列式を用いて、新たな多項式 $ F(x) $ を構成する。
• 3次多項式の安定性基準 $ \alpha_1\alpha_2 - \alpha_0 > 0 $ と、高次の場合の類似した判別式によるチェックを用いる。
• アイセン＝ショーベルグの定理を用い、変換後の行列の完全正性と得られる多項式の安定性を結びつける。
• 記号計算を用いて、判別式における係数和の正性を検証する（例：3次では19の単項式、4次では201個）。
• 係数列からなる無限大の下三角行列の小行列を分析し、元の多項式が $ P^{+}_2 $ に属する場合、その小行列が安定多項式を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力多項式 $ f \in P^{+}_1 $ に対して、行列式に基づく変換 $ F(x) = \sum_i x^i \det(\text{三重対角ブロック}) $ を適用した場合、$ F(x) \in P^{+}_1 $ となるか？
• RQ2 演算子 $ T_k(f) = \sum_i x^i \det\begin{pmatrix} a_i & a_{i+k} \\ a_{i-k} & a_i \end{pmatrix} $ が、$ f \in P^{+}_1 $ のとき多項式を $ P^{+}_1 $ に写像することを示せるか？
• RQ3 多項式 $ F(x) = \sum_i x^i \det\begin{pmatrix} a_{i} & \cdots & a_{i+d} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i-d} & \cdots & a_i \end{pmatrix} $ が $ f \in P^{+}_1 $ のとき安定か？
• RQ4 係数行列 $ M $ の各要素を、その中心を頂点とする $ d \times d $ の部分行列の行列式に置き換えると、完全正行列 $ M' $ が得られるか？
• RQ5 2つの多項式 $ f, g \in P^{+}_1 $ が交互に根を持つとき、多項式 $ \sum_i x^i \det\begin{pmatrix} a_i & a_{i+1} \\ b_i & b_{i+1} \end{pmatrix} $ は $ P^{+}_1 $ に属するか？

主な発見

• 次数2の場合、構成された多項式 $ F(x) $ はすべての係数が正で、判別式も正であるため、$ P^{+}_1 $ に属することが確認された。
• 次数3の場合、安定性基準 $ \alpha_1\alpha_2 - \alpha_0 > 0 $ は19個の正の単項式の和として評価され、安定性が証明された。
• 次数4の場合、安定性基準は201個の正の単項式の和として得られ、$ F(x) \in P^{+}_1 $ であることが確認された。
• 変換 $ T_k(f) $ は $ k > n/2 $ のとき、正の係数を保つハダールド積 $ f * f $ に帰着し、安定多項式を生成する。
• $ f \in P^{+}_2 $ からなる無限大行列 $ M $ のすべての小行列は安定であり、これはすべての小行列が $ P^{+}_1 $ に属することを示唆している。記号計算とアイセン＝ショーベルグの定理によって裏付けられた。
• $ f = (x+y+z)^n $ の場合、行列式に基づく構成 $ F(x,y,z) $ は一般には安定ではないが、正の $ y,z $ に対しては安定であり、すべての係数が負であるため、部分的な安定性が示された。