[論文レビュー] Questions on mod p representations of reductive p-adic groups

Noriyuki Abe, Guy Henniart+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特徴値 $p$ の代数的に閉じた体上の再帰的 $p$-進群の表現論における基礎的問題を調査し、整数的可解性、超尖度、mod $p$ 表現におけるヘッケ固有値に注目する。ヘッケ代数、パラホリック部分群、サタケ準同型を結びつける枠組みを提案し、超特異表現の存在と分類に取り組む。主な結果として、超特異性と超尖度、整数的可解性の関係が明示される。

ABSTRACT

This is a list of questions raised by our joint work arXiv:1412.0737 and its sequels.

研究の動機と目的

• 現在の分類定理の主要仮定である、特徴値 $p$ の体上の再帰的 $p$-進群の無限小滑らか表現が整数的可解であるかどうかを理解すること。
• 多くの状況で整数的可解性の必要条件である、無限小滑らか表現が中心的特徴を持つかどうかを特定すること。
• 特に $G$ が $ {GL}(2)$ でない場合に、mod $p$ 環上で超尖度表現が存在するかを調査すること。
• 特に基底体の特徴値が $p$ のとき、商と放物的誘導における整数的可解性の振る舞いを調べること。
• ヘッケ代数を用いて、超特異ヘッケ固有値、既約表現、誘導表現の構造との関係を明確化すること。

提案手法

• サタケ準同型を用いて、$G$ 及びそのレヴィ部分群のヘッケ代数を関連づけ、超特異表現の定義を可能にする。
• 放物的誘導およびジャケット関手を用いて、特徴値 $p$ における整数的可解性と部分商との整合性を研究する。
• プロ-$p$ モデルのイワホリ部分群に付随するヘッケ代数 $H$ を用いて、$I$-不変量とコンパクトに誘導された表現への作用を分析する。
• コンパクトに誘導された表現に作用するフィルトレーション $I_n(G,K,V)$ を導入し、収束性および有限性の性質を研究する。
• $H(G,K,V)$ と $I$-不変量の自己準同型の間の同型を活用し、加群論的性質と表現論的性質を関連付ける。
• Hecke代数 $Z(G,K,V)$ の商として得られる代数 $R_G$ を用いて、$ {ind}_{K}^{G(F)}V$ を基底とする表現を定義し、非消滅性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $R$ を特徴値 $p$ の代数的に閉じた体とするとき、$G(F)$ の任意の無限小滑らか $R$-表現は整数的可解であるか？
• RQ2 $G(F)$ の任意の無限小滑らか $R$-表現は中心的特徴を持つか？
• RQ3 $G(F)$ は、特に $G$ が $ {GL}(2)$ でない場合に、超尖度 $R$-表現を有するか？
• RQ4 $V$ が $G(F)$ の有限長の整数的可解 $R$-表現であるとき、$ {char} hinspace F = p$ の下で、$V$ の任意の商は整数的可解であるか？
• RQ5 超特異ヘッケ固有値 $ {char}:Z(G,K,V) o R$ に対して、関連する表現 $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ は非ゼロであるか？

主な発見

• 質問1（無限小滑らか表現の整数的可解性）に肯定的解答が得られれば、すべての既約整数的可解表現が中心的特徴を持つことが従い、質問2が解決される。
• $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ の非ゼロの既約商が超特異ヘッケ固有値を持つならば、超尖度表現の存在が保証され、質問12と質問3が結びつく。
• $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ は減少フィルトレーション $(I_n(G,K,V))$ を持ち、このフィルトレーションの有限性は、超特異 $ {char}$ に対して $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ の非消滅性と同値である。
• 任意の特別なパラホリック部分群 $K$ 及び重み $V$ に対して、超特異ヘッケ固有値 $ {char}:Z(G,K,V) o R$ が存在し、候補となる表現の存在が保証される。
• 自然な写像 $ {char} igotimes ( {ind}_{K}^{G(F)}V)^I o {ind}_{K}^{G(F)}V$ は単射であり、$ {ind}_{K}^{G(F)}V$ が整数的可解であるとき、その余核は有限次元である。
• 既約整数的可解表現に対して、$ {ind}_{K}^{G(F)}V$ が $H$-加群として超特異であることと、その $I$-不変量が超特異であることの同値性が成り立つが、本稿では、この同値性が $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ の既約商へと拡張可能かどうかが問われている。