[論文レビュー] Questions on self maps of algebraic varieties

Najmuddin Fakhruddin|ArXiv.org|Dec 16, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 122

ひとこと要約

本稿は、あるアンプルな線分束をテンソル冪まで保存する代数的多様体の自己写像を調査し、その算術的・幾何的性質に焦点を当てる。本稿では、このような写像が射影的多様体上で定義される場合、射影空間への拡張が可能であることを示し、周期的点のザリスキ・スパルスの密度を証明するとともに、力学系に関する予想と、アーベル多様体の捩れ部分群の一様有界性といった深い算術的問題を結びつける。

ABSTRACT

In this note we discuss some arithmetic and geometric questions concerning self maps of projective algebraic varieties.

研究の動機と目的

• 射影的多様体に自己写像が存在し、その写像がテンソル冪までアンプルな線分束を保存するような多様体の構造と分類を理解すること。
• このような自己写像の算術的意味を、特に canonical height 関数と有理点との関係において調査すること。
• 射影空間上の力学系と、アーベル多様体の捩れ部分群の一様有界性といった算術幾何における深い予想との関係を探索すること。
• 代数的多様体の中で、射影空間がその自己写像構造に関して一意的に特徴づけられるかどうかを特定すること。
• このような自己写像の下で周期的点の集合がザリスキ・スパルスに稠密であることを確立すること、これは主要な力学的性質である。

提案手法

• アンプルな線分束およびその引き戻しの理論を用いて、多様体から射影空間への準同型を構成する。
• 全空間上のセクションへの引き戻し写像の全射性というコhomological 条件を適用し、自己写像の射影空間への拡張の存在を保証する。
• 像多様体が次数 ≤ d の形式によって切り出されることを条件として、拡張が準同型であることを保証する。
• 定義方程式の数に関する帰納法を用いて、拡張された写像が常に正しく定義されることを保証する。
• エタールホモロジーと双対性を用いて、このような自己写像が必ず有限準同型であることを証明する。
• モデル理論的および変形理論的技法、特に離散値環による周期的点の持ち上げを用いて、正の特性および混合特性におけるザリスキ密度を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的多様体の自己写像が、テンソル冪までアンプルな線分束を保存する場合、射影空間への自己写像へ拡張可能か？
• RQ2 このような自己写像が射影空間上で示す力学的性質は、アーベル多様体の算術的性質をどの程度反映または示唆するか？
• RQ3 このような自己写像の下で、周期的点の集合は多様体においてザリスキ・スパルスに稠密か？
• RQ4 Morton-Silverman の一様有界性予想（射影空間上の次数 d の力学系に関して）が、数体上のアーベル多様体における捩れ部分群の一様有界性を示唆するか？
• RQ5 射影空間は、与えられた線分束性質を持つ自己写像をもつ唯一の多様体か？

主な発見

• d > 1 に対して φ*(L) ≅ L^⊗d を満たす射影的多様体の自己写像は、あるコホモロジー的および集合論的条件を満たす埋め込みのもとで、射影空間への準同型へ拡張可能である。
• 多様体が非常にアンプルな線分束により埋め込まれており、像が次数 ≤ d の形式によって切り出される場合、このような拡張の存在が保証される。
• このような自己写像の周期的点の集合は、多様体においてザリスキ・スパルスに稠密である。これは、離散値環上の持ち上げの議論と、正の特性における Hrushovski の定理を用いて確立された。
• 特別なファイバーにおける周期的点の有限性から、周期的点が一般ファイバーに持ち上げられることを示し、超越次数に関する帰納法が可能になる。
• 射影空間上の次数 d の写像に関する Morton-Silverman の一様有界性予想は、Lang の予想を仮定すれば、数体上のアーベル多様体における捩れ部分群の一様有界性を示唆する。
• 与えられた線分束性質を持つ自己写像は、エタールホモロジーとコホモロジー群の有限次元性を用いた背理法により、必ず有限準同型であることが示される。