[論文レビュー] Queue Layouts of Graphs with Bounded Degree and Bounded Genus

Vida Dujmović, Pat Morin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大次数Δをもつ平面グラフのキュー番号の上界を、O(Δ⁶)からO(Δ²)に改善し、有界なオイラー genus および有界な次数をもつグラフへと拡張し、キュー番号がO(g + Δ²)であることを示した。この手法は平面部分グラフの構築とレイヤーに基づくキュー配置の拡張を用い、平面グラフと有界オイラー genus をもつグラフの間のキュー番号の一般的関係を確立した。

ABSTRACT

Motivated by the question of whether planar graphs have bounded queue-number, we prove that planar graphs with maximum degree $Δ$ have queue-number $O(Δ^{2})$, which improves upon the best previous bound of $O(Δ^6)$. More generally, we prove that graphs with bounded degree and bounded Euler genus have bounded queue-number. In particular graphs with Euler genus $g$ and maximum degree $Δ$ have queue-number $O(g+Δ^{2})$. As a byproduct we prove that if planar graphs have bounded queue-number, then graphs of Euler genus $g$ have queue-number $O(g)$.

研究の動機と目的

• 最大次数が有界な平面グラフのキュー番号の既知の上界を改善すること。
• 上記の上界を、有界なオイラー genus および有界な次数をもつグラフへと拡張すること。
• 平面グラフと有界オイラー genus をもつグラフのキュー番号の上界の間の一般的関係を確立すること。
• 最大次数が有界な平面グラフのキュー番号が有界であるならば、それらが有界オイラー genus をもつグラフに対しても有界であるかどうかを調査すること。

提案手法

• 与えられたオイラー genus g および最大次数ΔをもつグラフGから、各BFSレイヤーあたり最大2g個の頂点の集合Zを削除することで、平面部分グラフG′を構築する。
• 定理2（最大次数Δをもつ平面グラフに対してO(Δ²)のキュー配置をもつ新定理）をブラックボックスとして適用し、k = 12Δ² + 16Δ + 3 とすると、G′に対して3k-キュー配置を取得する。
• GのBFSレイヤーV₀, V₁, ..., Vₜを用いて頂点を整理し、順序付けにおける相対的位置に基づいてエッジをキューに割り当てる。
• Zに属する頂点に接続するエッジを、系統的な入れ替え方式（SᵢおよびTᵢキュー）を用いて4g個の新しいキューに割り当て、ネストを回避する。
• 補題10を活用し、k-キュー配置がレイヤー化を伴う場合、頂点がレイヤー順に順序付けられることで3k-キュー配置が誘導されることを示す。
• 定理4を証明し、任意の有界なオイラー genus g をもつグラフクラス𝒢において、すべての平面グラフがキュー番号≤kをもつならば、𝒢に属するすべてのグラフがキュー番号≤3k + 4gをもつことを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BekosらのO(Δ⁶)の上界を超えて、最大次数Δをもつ平面グラフのキュー番号を改善できるか？
• RQ2 有界なオイラー genus および有界な次数をもつグラフは、有界なキュー番号をもつか？
• RQ3 平面グラフと高次のオイラー genus をもつグラフのキュー番号の間には、一般的な関係があるか？
• RQ4 平面グラフが有界キュー番号をもつならば、それらが有界オイラー genus をもつグラフに対しても有界キュー番号をもつと結論づけられるか？

主な発見

• 最大次数Δをもつ任意の平面グラフのキュー番号は、12Δ² + 16Δ + 3以下である。これは、以前のO(Δ⁶)の上界を改善したものである。
• オイラー genus g および最大次数Δをもつグラフのキュー番号は、4g + 36Δ² + 48Δ + 9以下であり、これはO(g + Δ²)である。
• すべての平面グラフがキュー番号≤kをもつならば、すべてのオイラー genus g をもつグラフがキュー番号≤3k + 4gをもつことが示され、平面グラフと高次の genus をもつグラフの間の直接的なリンクが確立された。
• この結果により、有界オイラー genus および有界次数をもつグラフは有界トラック番号をもち、線形体積の3次元グリッド図をもつことが示された。
• 証明手法は、各BFSレイヤーあたりO(g)個の頂点を削除して平面部分グラフを構築し、レイヤー化と系統的なキュー割り当てを用いてキュー配置を拡張することに依存している。
• 最大次数Δをもつ平面グラフに対するO(Δ²)の上界は、一般の有界次数グラフに対して存在するΩ(√Δ n^{1/2−1/Δ})の下界により、定数倍の意味でタイトであることが示された。