[論文レビュー] Queueing networks with a single shared server: light and heavy traffic

Marko Boon, R.D. van der Mei+1 more|TU/e Research Portal|Aug 1, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1つの共有サーバー、ゲートドサービス、および顧客ルーティングを備えたキューイングネットワークにおける平均待ち時間の閉形式近似を提案する。重交通および軽交通の極限を正確に導出し、それらの間で補間することで、あらゆる負荷条件において高精度でスケーラブルな推定が可能となり、交換時間付きの直列キューを含む数値例で検証されている。

ABSTRACT

We study a queueing network with a single shared server, that serves the queues in a cyclic order according to the gated service discipline. External customers arrive at the queues according to independent Poisson processes. After completing service, a customer either leaves the system or is routed to another queue. This model is very generic and finds many applications in computer systems, communication networks, manufacturing systems and robotics. Special cases of the introduced network include well-known polling models and tandem queues. We derive exact limits of the mean delays under both heavy-traffic and light-traffic conditions. By interpolating between these asymptotic regimes, we develop simple closed-form approximations for the mean delays for arbitrary loads.

研究の動機と目的

• 単一共有サーバー、ゲートドサービス、および確率的顧客ルーティングを伴う一般化されたキューイングネットワークを分析すること。
• 軽交通および重交通条件下での平均待ち時間の正確な漸近的表現を導出すること。
• 軽交通および重交通の極限を補間することで、あらゆるシステム負荷レベルでの平均遅延を簡潔に閉形式で近似する手法を開発すること。
• 交換時間付きの直列キュー構成を含む数値例を通じて、近似の正確性を検証すること。

提案手法

• 各顧客がサービス後に別のキューにルーティングされるか、システムから退出する、ゲートドサービスおよび顧客ルーティングを伴うポーリングネットワークとしてシステムをモデル化する。
• ルーティング確率およびサービス時間のモーメントに基づく線形方程式を用いて、総負荷および有効サービス時間を導出する。
• サイクル時間解析および長さに偏ったサンプリングを用いて重交通極限を確立し、ρ→1のときの平均待ち時間の閉形式表現を導出する。
• 顧客の出処（外部またはルーティング）に条件付けたことで、ρ↓0における軽交通極限を導出し、閉形式表現を得る。
• 補間に基づく近似を構築する：$ W_i^{\text{approx}} = \frac{w_i^{\text{LT}} + (w_i^{\text{HT}} - w_i^{\text{LT}})\rho}{1 - \rho} $。ρ=0およびρ→1で正確性を保証する。
• 決定的交換時間およびルーティング確率を伴う3キュー直列モデルを用いて、近似を数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重交通条件下において、顧客ルーティングを伴う単一サーバーのキューイングネットワークにおける平均待ち時間はどのように振る舞うか？
• RQ2 システム負荷がほぼゼロに近いとき、平均待ち時間の正確な軽交通極限は何か？
• RQ3 軽交通および重交通極限を組み合わせることで、あらゆる負荷レベルでの平均待ち時間を高精度に推定できる簡潔な閉形式近似を構築できるか？
• RQ4 ルーティング構造は、サービス時間および交換時間などのシステムパラメータに依存する平均待ち時間の依存関係にどのように影響を与えるか？
• RQ5 提案された補間近似は、平均待ち時間の疑似保存則といった構造的性質を満たすか？

主な発見

• キュー $ i $ における重交通極限の平均待ち時間は、$ \rho \uparrow 1 $ のとき $ (1 - \rho)\mathbb{E}[W_i] \to \left(r + \frac{\tilde{b}^{(2)}}{2\delta\tilde{b}^{(1)}}\right)\frac{\delta_i}{\tilde{b}_i\hat{\gamma}_i} $ に収束し、訪問順序に感応せず、合計交換時間および有効サービス時間のモーメントにのみ依存することが示された。
• キュー $ i $ における軽交通極限の平均待ち時間は、$ \rho \downarrow 0 $ のとき $ \mathbb{E}[W_i] \to \frac{\lambda_i}{\gamma_i}\frac{r^{(2)}}{2r} + \sum_{j=i-N}^{i-1}\frac{\gamma_j p_{j,i}}{\gamma_i}\sum_{k=j}^{i-1}r_k $ に収束し、残存交換時間およびルーティング遅延を反映している。
• 提案された補間近似 $ W_i^{\text{approx}} $ は、$ \rho \downarrow 0 $ および $ \rho \uparrow 1 $ で正確であり、平均待ち時間の疑似保存則を満たす。
• 数値結果から、あらゆる負荷レベルで高い正確性が確認され、3キュー例では $ \rho = 0.1 $ および $ \rho = 0.9 $ で相対誤差が2%未満、$ \rho = 0.01 $ および $ \rho = 0.99 $ で1%未満であった。
• 数値例（$ p_{1,3} = p_{2,3} = p_{3,0} = 1 $）により、直列キューおよびフィードバックシステムなどの特殊ケースへの一般化が良好に行われたことが示された。
• 交換時間の導入に対しても近似は頑健であることが、$ r_1 = 0, r_2 = r_3 = 2 $ の例で示された。