[論文レビュー] Quick Streaming Algorithms for Maximization of Monotone Submodular Functions in Linear Time

Alan Kuhnle|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、基数制約下における単調なサブモジュラ最大化に対する、線形時間およびクエリ計算量を備えた最初の決定的ストリーミングアルゴリズムを提示する。提案されたQuickStreamアルゴリズムは、1回のパスで$ ceil n/c ceil + c$のオракルクエリを用いて定数近似比を達成する。一方、QS+BRは定数回のパスでほぼ最適な$1 - 1/e - \varepsilon$比を達成する。両者とも、効率性および実験的評価値の両面で先行手法を上回る。

ABSTRACT

We consider the problem of monotone, submodular maximization over a ground set of size $n$ subject to cardinality constraint $k$. For this problem, we introduce the first deterministic algorithms with linear time complexity; these algorithms are streaming algorithms. Our single-pass algorithm obtains a constant ratio in $\lceil n / c ceil + c$ oracle queries, for any $c \ge 1$. In addition, we propose a deterministic, multi-pass streaming algorithm with a constant number of passes that achieves nearly the optimal ratio with linear query and time complexities. We prove a lower bound that implies no constant-factor approximation exists using $o(n)$ queries, even if queries to infeasible sets are allowed. An empirical analysis demonstrates that our algorithms require fewer queries (often substantially less than $n$) yet still achieve better objective value than the current state-of-the-art algorithms, including single-pass, multi-pass, and non-streaming algorithms.

研究の動機と目的

• 単調サブモジュラ最大化（SMCC）に対する、線形時間計算量を備えた最初の決定的ストリーミングアルゴリズムの設計。
• 特に関数評価が高コストな状況において、最小限のオラクルクエリで定数近似比を達成すること。
• 線形クエリおよび時間計算量を維持しつつ、ほぼ最適な$1 - 1/e$比に近い$1 - 1/e - \varepsilon$比を達成する多パスアルゴリズムの開発。
• 実験的に、提案されたアルゴリズムが、既存の単一パス・多パス・非ストリーミング手法よりも、目的関数値およびクエリ効率の両面で優れていることを示すこと。
• オラクルクエリ数が$o(n)$である場合でさえ、定数近似因子が達成できないことを示す理論的下界を確立すること。

提案手法

• サイズ$c$のバッチで処理を行う単一パスのストリーミングアルゴリズムであるQuickStreamを導入。候補解を維持し、マージナル利得クエリを用いて要素を選択する。
• 初期パス後の解の品質を向上させるための後処理ヒューリスティクス「BoostRatio」を採用。近似比の向上に寄与する。
• バッチ処理とブースティングフェーズを組み合わせた多パスアルゴリズムQS+BRを提案。反復的に解を精錬することで、ほぼ最適な$1 - 1/e - \varepsilon$比を達成する。
• QuickStreamの近似比を$1/(4c) - \varepsilon$で抑え、$k \to \infty$の下で漸近的に$(1 - 1/e)/(c + 1)$に改善する、新しい分析フレームワークを採用。
• ストリーミング環境での大規模データセット処理を可能にする、メモリ効率の良いデータ構造を設計。$O(ck\log k\log(1/\varepsilon))$の要素のみを格納。
• 実行コストの高い関数評価を大幅に削減するため、実行可能かつ増加する集合へのみオラクル呼び出しを制限するクエリ削減戦略を採用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的ストリーミングアルゴリズムは、線形時間およびクエリ計算量を備えながら、単調サブモジュラ最大化に対して定数近似比を達成可能か？
• RQ2 $n$未満のオラクルクエリで、競争力のある近似比を維持しつつ、単一パスのストリーミングアルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 多パスの決定的ストリーミングアルゴリズムは、線形クエリ計算量を維持しつつ、ほぼ最適な$1 - 1/e - \varepsilon$近似比を達成可能か？
• RQ4 ストリーミングモデルにおいて、定数近似因子を達成するために必要なクエリ数の理論的下界は何か？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは、目的関数値、クエリ数、メモリ使用量の観点から、最先端の手法と比較してどのように差をつけるか？

主な発見

• QuickStreamは、$\lceil n/c \rceil + c$のオラクルクエリと$O(n)$の時間計算量を用いて、少なくとも$1/(4c) - \varepsilon$の近似比を達成する。これは、SMCCに対する最初の線形時間決定的ストリーミングアルゴリズムである。
• $c = 1$の場合、QuickStream++は小規模な$k$インスタンスにおいて、標準的グリーディ値の平均で0.99の目的関数値を達成し、C&K、SieveStream++、P-Passを上回る。
• QS+BRは、定数回のパスで$O(n/\varepsilon)$のオラクルクエリと$O(n)$の時間計算量を用いて、ほぼ最適な$1 - 1/e - \varepsilon$比を達成する。これは、線形クエリ計算量を備えた最初の決定的アルゴリズムである。
• 実験的結果から、QuickStreamはSieveStream++よりもはるかに少ないクエリ数（しばしば$n$未満）を用いながら、高い目的関数値を達成しており、一部のケースでは非ストリーミングのLTLアルゴリズムをも上回る。
• QuickStreamのメモリ使用量は$k$の定数倍の範囲に保たれ、$k$が大きい場合にはSieveStream++よりも少ないメモリを使用する。
• 理論的下界により、$o(n)$のクエリ数でさえ、定数近似因子が達成できないことが証明された。これは、提案されたアルゴリズムのクエリ計算量が最適であることを示している。