[論文レビュー] Quickest Detection for a Poisson Process with a Phase-type Change-time Distribution

Erhan Bayraktar, Semih Sezer|ArXiv.org|Nov 19, 2006

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、変化時刻がフェーズ型分布に従うポアソン過程に対する最適ベイズ即時検出ルールを提案する。先行研究では指数分布の事前分布を仮定していたが、本稿はこれを一般化している。事後確率過程をn+1次元の区分的決定的マルコフ過程としてモデル化し、最適停止時刻が凸集合への到達時刻であることを証明。さらに、任意の精度でε最適戦略を計算する数値アルゴリズムを提供している。

ABSTRACT

We consider a change detection problem in which the arrival rate of a Poisson process changes suddenly at some unknown and unobservable disorder time. It is assumed that the prior distribution of the disorder time is known. The objective is to detect the disorder time with an online detection rule (a stopping time) in a way that balances the frequency of false alarm and detection delay. So far in the study of this problem, the prior distribution of the disorder time is taken to be exponential distribution for analytical tractability. Here, we will take the prior distribution to be a phase-type distribution, which is the distribution of the absorption time of a continuous time Markov chain with a finite state space. We find an optimal stopping rule for this general case and give a numerical algorithm that calculates the parameters of $\eps$-optimal strategies for any $\eps>0$. We illustrate our findings on two examples.

研究の動機と目的

• 解析的取り扱いの容易さから長年にわたり文献を支配してきた指数事前分布の仮定を超えて、古典的なポアソン不正常問題を一般化すること。
• 変化時刻をフェーズ型分布としてモデル化することで、より柔軟な分布を扱え、任意の正の分布を任意の精度で近似可能となるようにすること。
• 誤検出頻度と検出遅延を組み合わせたベイズリスクを最小化する最適停止ルールの存在を確立すること。
• 任意の精度でε最適検出戦略を計算する数値アルゴリズムを開発し、最適ベイズリスクへの収束を保証すること。
• 例としてエラーング分布および超幾何型フェーズ型事前分布を用いた数値実験を通じて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 変化検出問題を、Π̲t = [Π₁t, ..., Πₙt, Πt] と表される(n+1)次元の事後確率過程における最適停止問題に変換する。ここでΠitは、基礎となるマーカフ連鎖が状態iにいる事後確率を表す。
• 最適停止時刻が、確率単体内に空の内部を持つ閉凸集合Γへの事後確率過程Π̲tの到達時刻であることを示す。
• 積分作用素の反復適用により、最小ベイズリスクを一様に近似する関数列を構成する。
• 継続領域が有界でない問題を回避するため、便宜的な確率測度の下で問題を定式化し、数値的実装を可能にする。
• 事後確率空間における境界曲線を計算する数値アルゴリズムを実装し、観測に応じたしきい値超過によってリアルタイム検出を可能にする。
• 事後過程の強マルコフ性を活用して、停止時刻における期待コストを分解し、停止ルールの最適性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なポアソン不正常問題は、指数事前分布の仮定を超えて、より現実的で柔軟な変化時刻の事前分布を許容するように一般化可能か？
• RQ2 一般化された問題における最適停止ルールは、依然として事後確率空間における凸集合への到達時刻として特徴付けられるか？
• RQ3 最小ベイズリスクは、積分作用素の反復により生成される関数列によって一様に近似可能であり、その近似の収束速度はいかほどか？
• RQ4 フェーズ型事前分布に対して、ε最適検出戦略をどのように数値的に実装できるか。また、所望の精度に達成するための計算リソースはどの程度か？
• RQ5 エラーング分布や超指数型分布などのフェーズ型事前分布を指数事前分布と比較して、ベイズリスクを最小化する観点でどの程度の性能向上が得られるか？

主な発見

• フェーズ型変化時刻分布を有するポアソン不正常問題における最適停止時刻は、空の内部を持つ閉凸集合Γへの事後確率過程の最初の到達時刻である。
• 最小ベイズリスクは、積分作用素の反復適用により生成される関数列によって、任意のε > 0の精度で一様に近似可能である。
• ε最適停止ルールが存在し、事後確率空間における境界曲線を計算する数値アルゴリズムによって構成可能である。
• アルゴリズムによりリアルタイム検出が可能である。観測者は事後過程を監視し、計算された境界に到達した時点でアラームを発動するだけでよい。
• 2つの遷移状態を有するエラーングおよび超幾何型フェーズ型分布の数値結果から、指数事前分布の場合と比較して、ベイズリスクが顕著に低減されていることが示された。
• 証明により、価値関数が動的計画法の原則を満たし、事後過程のダイナミクス下で最適戦略が時不変性を有することが示された。