[論文レビュー] Quiver Hall-Littlewood functions and Kostka-Shoji polynomials

Daniel L. Orr, Mark Shimozono|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、クーヴァー表現への古典的対称関数論の一般化として、クーヴァー・ホール＝リトルウッド関数およびクーヴァー・コスタ＝ショージ多項式を導入する。クーヴァー電流を定義し、それらがクーヴァー頂点上の対称関数のテンソル積上に作用することにより、これらの多項式をシュール基底における展開係数として構成する。これにより、ルシュチグの畳み込み図上のベクトル束の等化的オイラー特徴量における次数付き重複度として得られ、高次コホモロジーの消失を仮定することで正値性が予想される。

ABSTRACT

For any triple $(i,a,μ)$ consisting of a vertex $i$ in a quiver $Q$, a positive integer $a$, and a dominant $GL_a$-weight $μ$, we define a quiver current $H^{(i,a)}_μ$ acting on the tensor power $Λ^Q$ of symmetric functions over the vertices of $Q$. These provide a quiver generalization of parabolic Garsia-Jing creation operators in the theory of Hall-Littlewood symmetric functions. For a triple $(\mathbf{i},\mathbf{a},μ(\bullet))$ of sequences of such data, we define the quiver Hall-Littlewood function $H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{μ(\bullet)}$ as the result of acting on $1\inΛ^Q$ by the corresponding sequence of quiver currents. The quiver Kostka-Shoji polynomials are the expansion coefficients of $H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{μ(\bullet)}$ in the tensor Schur basis. These polynomials include the Kostka-Foulkes polynomials and parabolic Kostka polynomials (Jordan quiver) and the Kostka-Shoji polynomials (cyclic quiver) as special cases. We show that the quiver Kostka-Shoji polynomials are graded multiplicities in the equivariant Euler characteristic of a vector bundle on Lusztig's convolution diagram determined by the sequences $\mathbf{i},\mathbf{a}$. For certain compositions of currents we conjecture higher cohomology vanishing of the associated vector bundle on Lusztig's convolution diagram. For quivers with no branching we propose an explicit positive formula for the quiver Kostka-Shoji polynomials in terms of catabolizable multitableaux. We also relate our constructions to $K$-theoretic Hall algebras, by realizing the quiver Kostka-Shoji polynomials as natural structure constants and showing that the quiver currents provide a symmetric function lifting of the corresponding shuffle product. In the case of a cyclic quiver, we explain how the quiver currents arise in Saito's vertex representation of the quantum toroidal algebra of type $\mathfrak{sl}_r$.

研究の動機と目的

• クーヴァー電流を用いて、パラボリック・ガルシア＝ジンの生成作用素をクーヴァー表現へ一般化すること。
• これらの電流が真空ベクトルに作用する形で、クーヴァー・ホール＝リトルウッド関数を構成すること。
• これらの関数をテンソル・シュール基底で展開した際の展開係数がクーヴァー・コスタ＝ショージ多項式に一致することを特定すること。
• これらの多項式がルシュチグの畳み込み図上のベクトル束の等化的オイラー特徴量における次数付き重複度として解釈されることを示すこと。
• 分岐のないクーヴァーに対して、カタボライズ可能なマルチテーブルックスを用いた正値の組合せ的公式を提案すること。

提案手法

• クーヴァー頂点 $ i $、整数 $ a $、および支配的 $ GL_a $-重み $ \nu $ でパrameter化された、$ \Lambda^Q $（クーヴァー頂点上の対称関数のテンソル積）上に作用するクーヴァー電流 $ H^{(i,a)}_{\nu} $ を定義する。
• 真空 $ 1 \in \Lambda^Q $ にこのような電流の合成を作用させることで、クーヴァー・ホール＝リトルウッド関数 $ H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{\mu(\bullet)} $ を構成する。
• これらの関数をテンソル・シュール基底 $ s_{\lambda^{\bullet}} $ で展開し、係数 $ \mathcal{K}^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{\lambda^{\bullet},\mu(\bullet)}(t_{Q_1}) $ を得る。これらをクーヴァー・コスタ＝ショージ多項式と呼ぶ。
• これらの多項式を、重みデータ $ \mu(\bullet) $ を持つ $ \mathbf{i}, \mathbf{a} $ に関連するルシュチグの畳み込み図上のベクトル束の等化的オイラー特徴量における次数付き重複度として実現する。
• 関連するベクトル束に対して高次コホモロジーの消失を予想し、これにより多項式の非負性が示唆される。
• 分岐のないクーヴァー（有向サイクルまたはパス）に対して、カタボライズ可能なマルチテーブルックスを用いた正値の公式を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラボリック・ガルシア＝ジンの生成作用素をクーヴァー表現へどのように一般化できるか？
• RQ2 クーヴァー・コスタ＝ショージ多項式の幾何学的および表現論的解釈は何か？
• RQ3 分岐のないクーヴァーに対して、クーヴァー・コスタ＝ショージ多項式に正値の組合せ的公式を与えることは可能か？
• RQ4 これらの多項式は $ K $-理論的ホール代数およびシャッフル積とどのように関係するか？
• RQ5 クーヴァー電流は量子トロイダル代数の文脈でどのように生じるか？

主な発見

• クーヴァー・コスタ＝ショージ多項式は、クーヴァー・ホール＝リトルウッド関数をテンソル・シュール基底で展開した際の係数として特定され、矢印変数 $ t_{Q_1} $ に関して整数係数を持つ。
• これらの多項式は、古典的コスタ＝フックおよびパラボリック・コスタ多項式を一般化し、サイクルをもつクーヴァーの場合はコスタ＝ショージ多項式の特別な場合を含む。
• 単一のループクーヴァーの場合、$ \mu(\bullet) $ が単一の行の重みからなるとき、多項式は古典的コスタ＝フック多項式に一致する。
• クーヴァー・コスタ＝ショージ多項式が、ルシュチグの畳み込み図上のベクトル束の等化的オイラー特徴量における次数付き重複度として実際に実現されることを示した。
• 関連するベクトル束に対して高次コホモロジーの消失を予想し、これにより多項式の非負性が保証される。
• 分岐のないクーヴァーに対して、カタボライズ可能なマルチテーブルックスを用いた正値の公式を提案し、単一ループの場合のS.とW.の予想を一般化した。