[論文レビュー] Quiver varieties and a non-commutative P^2

Vladimir Baranovsky, Victor Ginzburg+1 more|ArXiv.org|Mar 12, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有限部分群 $\Gamma \subset SL_2(\mathbb{C})$ および群代数の中心に属する要素 $\tau$ に関連するクーヴィー多様体と変形プレプロジェクティブ代数を用いて、非可換射영平面 $\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}$ を構成する。同定された非可換 $\mathbb{P}^2$ 上のねじれのない層のモジュライ空間とナカジマのクーヴィー多様体との間に、準同型を用いた層のモノイダル記述により、同型が確立され、クレイリー＝ボーイヴィーとオランダの予想の一般化が証明される。

ABSTRACT

To any finite group G in SL_2(C), and each `t' in the center of the group algebra of G, we associate a category, Coh_t. It is defined as a suitable quotient of the category of graded modules over (a graded version of) the deformed preprojective algebra introduced by Crawley-Boevey and Holland. The category Coh_t should be thought of as the category of coherent sheaves on a `noncommutative projective 2-space', equipped with a framing at the line at infinity. Our first result establishes an isomorphism between the moduli space of torsion free objects of Coh_t and the Nakajima quiver variety arising from G via the McKay correspodence. We apply the above isomorphism to deduce generalized Crawley-Boevey & Holland conjecture, saying that the moduli space of `rank 1' projective modules over the deformed preprojective algebra is isomorphic to a particular quiver variety. This reduces, for G=1, to the recently obtained parametrisation of the isomorphism classes of right ideals in the first Weyl algebra, A_1, by points of the Calogero-Moser space, due to Cannings-Holland and Berest-Wilson. Our approach is algebraic and is based on a monadic description of torsion free sheaves on the noncommutative projective 2-space. It is totally different from the one used by Berest-Wilson, involving $τ$-functions.

研究の動機と目的

• クーヴィー・データおよび変形プレプロジェクティブ代数を用いて、$\mathbb{P}^2$ の非可換類似物を代数的に定義すること。
• この非可換 $\mathbb{P}^2$ 上の連続層のカテゴリカル同値関係を、次数付き加群の商カテゴリと結びつけること。
• 非可換 $\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}$ 上のねじれのない層のモジュライ空間が、マケイ対応を介してナカジマのクーヴィー多様体と同型であることを証明すること。
• 変形プレプロジェクティブ代数上のランク1の射影モジュールのモジュライに関するクレイリー＝ボーイヴィーとオランダの予想を一般化すること。

提案手法

• 次数付き加群の torsion を除いたカテゴリ $\mathop{\mathrm{qgr}}(A)$ を用いて、強く正則な次数付き代数 $A$ を介して、非可換 $\mathbb{P}^2$ 上の連続層を定義する。
• 代数 $A$ を $\Gamma$ および $\tau$ に関連する変形プレプロジェクティブ代数の次数付き版として構成し、有限なグローバル次元とゴレンシュタイン性を保証する。
• クーヴィー多様体上のねじれのない層のモノイダル記述を用いて、それらをクーヴィーの表現に関連付ける。
• マケイ対応を用いて、$\Gamma$ の表現論とクーヴィー多様体の幾何学とを結びつける。
• $\chi$-条件および重み格子上のカルタン作用素 $C$ の性質を用いて、最小限の重みと特別な頂点を分類する。
• 分解 ${{\sf{\hat{P}}}} = {\mathsf{P}} \oplus \mathbb{Z} \cdot \omega_v$ と射影 $\mathtt{pr}$ を用いて、${{\hat{\theta}}^\vee}(\omega) = 1$ を満たす重みの分類を、有限型ルート系に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クーヴィー・データおよび変形プレプロジェクティブ代数を用いて、非可換 $\mathbb{P}^2$ を代数的にどのように定義できるか？
• RQ2 この非可換 $\mathbb{P}^2$ 上のねじれのない層のモジュライ空間とナカジマのクーヴィー多様体との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 連続層のモノイダル的アプローチを用いて、一般化されたクレイリー＝ボーイヴィーとオランダの予想を証明できるか？
• RQ4 拡張されたディンキン図形における最小限の重みと特別な頂点は、1次元 $\Gamma$-モジュールの分類とどのように関係するか？
• RQ5 射影 $\mathtt{pr}: \widehat{P} \to \mathsf{P}$ は、重みの分類を有限型ルート系に還元するために果たす役割は何か？

主な発見

• モジュライ空間 $\mathcal{C}\!oh(\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}, \mathbb{P}^1)$ 上のねじれのない対象は、マケイ対応を介して、$\Gamma$ に関連するナカジマのクーヴィー多様体と同型である。
• $\mathcal{C}\!oh(\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}, \mathbb{P}^1)$ は、変形プレプロジェクティブ代数上の次数付き加群の商として定義され、$\mathbb{P}^2$ 上の連続層の非可換類似物を提供する。
• 同型は、ねじれのない層のモノイダル記述を用いて確立され、先行研究で用いられた $\tau$-関数法を回避する。
• 一般化されたクレイリー＝ボーイヴィーとオランダの予想が証明された：変形プレプロジェクティブ代数上のランク1の射影モジュールのモジュライ空間は、特定のクーヴィー多様体と同型である。
• $\Gamma = \{1\}$ の場合、この結果は、第一種ウェイル代数 $\mathsf{A}_1$ の右イデアルの同型類が、カロジェロ＝モーザー空間の点によってパrametrization されることを回復する。
• $\widehat{P}$ の重み $\omega$ で ${{\hat{\theta}}^\vee}(\omega) = 1$ を満たすものの分類は、一意的な分解 $\omega = \omega_i + C(\omega^{\prime\prime})$ に還元され、ここで $i$ は特別な頂点または $v$ であり、$\omega^{\prime\prime} \in \mathsf{P}$ である。