[論文レビュー] Quiver varieties and self-injective algebras

Sarah Scherotzke|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限生成で自己射影的代数 $\mathcal{P}$ に関連する新しいクラスのクーヴァー多様体を導入し、アフィンクーヴァー多様体が $\mathcal{S}$-表現のモジュライ空間に同型であることを示している。関手 $\Psi$ により、ストラトフィケーションと $\mathrm{proj}\,\mathcal{P}$ 内の同型類の間の対応が確立され、ナカジマの射影写像の纤维がクーヴァー・グラスマン多様体として実現され、自己射影的代数の有限型に対してクーヴァー・グラスマン多様体のdesingularization（特異点除去）が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new class of quiver varieties, recovering as special cases the cyclic and classical Nakajima quiver varieties. We show that the geometry of the new quiver varieties is closely linked to the representation theory of a suitable finitely-generated algebra $\mathcal{P}$, which is self-injective if $Q$ is of ADE Dynkin type. The affine quiver variety, defined as GIT quotient, is shown to be isomorphic to the moduli space of representations of a finitely-generated algebra $\mathcal{S}$. We construct a functor $\Psi$ establishing a bijection between the strata of the affine quiver variety and the isomorphism classes of objects in proj $\mathcal{P}$. Under $\Psi$, the degeneration order between strata corresponds to Jensen--Su--Zimmermann's degeneration order on proj $\mathcal{P}$. Furthermore, we use $\Psi$ to realize the fibres of Nakajima's projection map $\pi$ as quiver Grassmannians of $\mathcal{P}$. The algebra $\mathcal{P}$ specializes to the preprojective algebra if we consider classical quiver varieties. Finally, we use our results to construct desingularisations of quiver Grassmannians of modules of self-injective algebras of finite type.

研究の動機と目的

• 新しいクラスのクーヴァー多様体を定義し、それが巡回的および古典的ナカジマクーヴァー多様体を一般化することを目的とする。
• 有限生成代数 $\mathcal{P}$ の表現論とこれらのクーヴァー多様体の幾何学的性質との間の幾何的関係を確立すること。$Q$ がADEディンキン型であるとき、$\mathcal{P}$ は自己射影的になる。
• ストラトフィケーションと $\mathrm{proj}\,\mathcal{P}$ 内の同型類との間の全単射を誘導する関手 $\Psi$ を構成し、退化順序を保存すること。
• ナカジマの射影写像 $\pi$ の纤维を $\mathcal{P}$ のクーヴァー・グラスマン多様体として実現し、幾何的構造と表現論的構造を結びつけること。
• 自己射影的代数の有限型に対して、クーヴァー・グラスマン多様体のdesingularizationを構成すること。

提案手法

• GIT商による構成により、古典的および巡回的ナカジマ多様体を一般化する新しいクラスのクーヴァー多様体を定義する。
• その幾何学的性質を支配する有限生成代数 $\mathcal{P}$ を導入する。
• ストラトフィケーションと $\mathrm{proj}\,\mathcal{P}$ 内の同型類との間の全単射を誘導する関手 $\Psi$ を構成し、退化順序を保存する。
• $\Psi$ を用いて、ナカジマの射影 $\pi$ の纤维が $\mathcal{P}$ のクーヴァー・グラスマン多様体として特定され、幾何的纤维と表現論的対象を結びつける。
• $\mathcal{P}$ が古典的クーヴァー多様体の場合に前射影的代数に特殊化されることを示し、既知の構成を統一する。
• 関手的対応を応用し、自己射影的代数の有限型に対してクーヴァー・グラスマン多様体のdesingularizationを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、巡回的および古典的ナカジマクーヴァー多様体が特別な場合として含まれる新しいクラスのクーヴァー多様体を定義できるか？
• RQ2 有限生成代数 $\mathcal{P}$ がこれらのクーヴァー多様体の文脈において果たす幾何学的および表現論的役割は何か？
• RQ3 $\Psi$ はアフィンクーヴァー多様体のストラトフィケーションと $\mathrm{proj}\,\mathcal{P}$ 内の同型類との間でどのように関係づけられるか？また、退化順序を保存するか？
• RQ4 ナカジマの射影写像 $\pi$ の纤维を $\mathcal{P}$ のクーヴァー・グラスマン多様体として解釈できるか？
• RQ5 代数 $\mathcal{P}$ の幾何的構造を用いて、自己射影的代数の有限型に対するクーヴァー・グラスマン多様体のdesingularizationを構成できるか？

主な発見

• アフィンクーヴァー多様体は、有限生成代数 $\mathcal{S}$ の表現のモジュライ空間に同型であり、幾何学的表現論的対応を確立する。
• $\Psi$ は、アフィンクーヴァー多様体のストラトフィケーションと $\mathrm{proj}\,\mathcal{P}$ 内の対象の同型類との間で全単射を誘導し、退化順序を保存する。
• ナカジマの射影写像 $\pi$ の纤维は、代数 $\mathcal{P}$ のクーヴァー・グラスマン多様体として実現され、これらの幾何的纤维の新しい解釈が得られる。
• $Q$ がADEディンキン型であるとき、代数 $\mathcal{P}$ は自己射影的であり、クーヴァー多様体の幾何学と自己射影的表現論を結びつける。
• 古典的クーヴァー多様体の場合、代数 $\mathcal{P}$ は前射影的代数に特殊化され、既知の結果と統一される。
• 関手 $\Psi$ と代数 $\mathcal{P}$ の幾何的構造を用いて、自己射影的代数の有限型に対するモジュールのクーヴァー・グラスマン多様体のdesingularizationが構成される。