[論文レビュー] Quot schemes for flags and Gromov invariants for flag varieties

Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、A. Bertramのグレイスマン多様体におけるグロモフ＝ウィッテン不変量に関する研究を、一般化されたクォットスキームを導入することで、部分フラッグ多様体へと拡張する。局所化技術とクォットスキームの性質（証明された無限大性、有理型、滑らかさ、および射影的性）を用いて、フラッグ多様体におけるグロモフ＝ウィッテン不変量を計算し、このより広い設定における数え上げ幾何学のための枠組みを確立する。

ABSTRACT

Using Quot schemes and a localization theorem we study Gromov-Witten invariants for partial flag varieties. The strategy is to extend A. Bertram's result of Gromov-Witten invariants for special Schubert varieties of Grassmannians to the case of partial flag varieties. To do so a Grothendieck's Quot scheme is generalized for flags and proven to be an irreducible, rational, smooth, projective variety following Strømme \cite{St}.

研究の動機と目的

• グレイスマン多様体から部分フラッグ多様体へ、A. Bertramのグロモフ＝ウィッテン不変量に関する結果を一般化すること。
• 古典的クォットスキームをフラッグ構造へ拡張する一般化されたクォットスキームを定義し、その性質を調査すること。
• フラッグ用の一般化されたクォットスキームが無限大性、有理型、滑らかさ、および射影的であることを証明すること。
• 局所化定理を適用して、フラッグ多様体におけるグロモフ＝ウィッテン不変量を計算すること。
• 代数幾何学的道具を用いて、フラッグ多様体における数え上げ幾何学の体系的枠組みを提供すること。

提案手法

• ベクトル bundle の商のフラッグをパラメトライズするグロテンディークのクォットスキームを一般化する。
• ストロームの結果を用いて、フラッグ用の一般化されたクォットスキームが無限大性、有理型、滑らかさ、および射影的多様体であることを証明する。
• 等変コホモロジーにおける局所化定理を適用して、グロモフ＝ウィッテン不変量を計算する。
• 部分フラッグ多様体およびそのシューベルト多様体の構造を活用して、計算を既知のケースに還元する。
• クォットスキームの滑らかさと有理型を活用して、不変量のための良好に定義されたモジュライ空間を保証する。
• 新しいクォットスキーム構成を通じて、ベーツトゥルのグレイスマン多様体における手法をフラッグ多様体設定へ適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラッグの商のモジュライ空間を用いて、部分フラッグ多様体のグロモフ＝ウィッテン不変量はどのように計算できるか？
• RQ2 フラッグ用の一般化されたクォットスキームの幾何的性質（滑らかさ、有理型、無限大性）は何か？
• RQ3 グレイスマン多様体で用いられた局所化法は、フラッグスキームを介してフラッグ多様体へ拡張可能か？
• RQ4 曲線上のベクトルバンドルの商のフラッグをパラメトライズするモジュライ空間の構造は何か？
• RQ5 フラッグ多様体のグロモフ＝ウィッテン不変量は、グレイスマン多様体およびシューベルト多様体のそれらとどのように関係するか？

主な発見

• フラッグ用の一般化されたクォットスキームが無限大性、有理型、滑らかさ、および射影的であることが証明された。
• この構成は、フラッグ商の自然なコンパクト化を提供し、局所化技術の適用を可能にする。
• この方法により、ベーツトゥルのグレイスマン多様体におけるグロモフ＝ウィッテン不変量の結果が、部分フラッグ多様体へと成功裏に拡張された。
• フラッグ用のクォットスキームは、基本的構成からの有利な幾何的性質を継承し、不変量の定義が良好に保証される。
• 等変局所化を介して、フラッグ多様体設定におけるグロモフ＝ウィッテン不変量の体系的計算が可能になる。
• 本論文は、代数的モジュライ空間を用いたフラッグ多様体における数え上げ幾何学の基盤的ツールを確立した。