[論文レビュー] Quotients by finite equivalence relations

Janós Kollár|ArXiv.org|Dec 18, 2008

semigroups and automata theory参考文献 23被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、スキーム上の有限同値関係を調査し、準同型が平坦でないか、または被覆先が非正規な場合の商の再構成に焦点を当てる。このような商が幾何的商として存在するための条件を確立し、1コサイクルを用いたコhomological基準を導入して非効果的関係を検出する。さらに、アフィントーリック多様体上のトーリック同値関係が有限準同型を介して商スキームに由来することを証明する。

ABSTRACT

This note studies the existence of quotients by finite set theoretic equivalence relations. May 18: Substantial revisions with a new appendix by C. Raicu

研究の動機と目的

• スキーム X に有限同値関係 R が与えられたとき、幾何的商 Y を構成するための必要十分条件を特定すること。
• f: X → Y が平坦でないが有限な場合、特に Y が非正規な場合に、X ×_Y X のファイバー積における推移性および純粋性の欠落を扱うこと。
• Koszul型複体における1コサイクルを用いたコhomological基準を導入し、同値関係が非効果的であるかどうかを検出すること。
• アフィントーリック多様体上のトーリック同値関係が、ある有限準同型 f: X → Y に対して X ×_Y X として生じることを証明すること。
• 集合論的同値関係が埋め込まれた点のため、推移性が失われる可能性がある具体例を提示すること、すなわち、イデアルによって定義される関係であっても。

提案手法

• 反射的・対称的・推移的条件を満たす有限準同型 σ₁, σ₂: R ⇉ X を用いて有限同値関係を定義する。
• 構造層上の σ₁* − σ₂* の核を用いて、(X/R)cat、つまりスキームの圏における普遍商を定義する。
• 幾何的商を、K-点に関して双対写像を誘導する有限準同型 q: X → Y として定義する。
• C = A[x], B = A[f₁,…,fₘ] とおき、複体 C → C⊗_B C → C⊗_B C⊗_B C → ⋯ における1コサイクル f(x,y) を構成し、非効果的関係を検出する。
• f(x,y) + f(y,z) − f(x,z) ∈ J(x,y) + J(y,z) をコサイクル条件として定義し、イデアル I(x,y) を用いて同値関係を定義する。
• Macaulay2 を用いて、特定の f(x,y) = (x₁y₂ − x₂y₁)y₂³ が J を法としてコバウンダリーでないことを検証し、ℤ 上で非効果的であることを証明する。これは任意の体 k へのベースチェンジ後も同様に成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スキーム X 上の有限同値関係 R が、ある有限準同型 f: X → Y に対して R ≅ X ×_Y X として生じる条件は何か？
• RQ2 f: X → Y が平坦でないが有限な場合、特に Y が非正規な場合、なぜファイバー積 X ×_Y X が純次元的または滑らかでなくなるのか？
• RQ3 コホモロジー不変量を用いて、与えられた集合論的同値関係が非効果的であるかどうかをアルゴリズム的に検出可能か？
• RQ4 すべての同次非効果的同値関係は、コサイクル条件を満たす1コサイクルから構成される普遍的関係に含まれるか？
• RQ5 アフィントーリック多様体上のトーリック同値関係は、平坦性の仮定なしに常にある Y に対して X ×_Y X として生じるか？

主な発見

• 有限かつ全射な準同型 f: X → Y に対して、幾何的商 X/R が存在し、R = red(X ×_Y X) とおくと、Y に同型である。
• 有限同値関係 R が非効果的であるのは、複体 (50.2) における関連する1コサイクル f(x,y) がコバウンダリーでないときであり、これはコンピュータ代数システムを用いてテスト可能である。
• f₁(x) = x₁², f₂(x) = x₁x₂ − x₂², f₃(x) = x₂³, および f(x,y) = (x₁y₂ − x₂y₁)y₂³ を用いた例は、ℤ 上で同次非効果的同値関係を定義する。
• この例は、任意の体 k へのベースチェンジ後も非効果的のままであり、k 上の複体における f(x,y) のコホモロジー類が非ゼロであるためである。
• W/V ≅ H ≅ ℤ は、f(x,y) の類を生成元とする自由 ℤ-加群である。これにより、1コサイクルがコバウンダリーでないことが証明される。
• 体 k 上のアフィントーリック多様体に対して、すべてのトーリック同値関係 R は、あるアフィントーリック多様体 Y に対して X ×_Y X として生じる。ゆえに、このような関係は常に効果的である。