[論文レビュー] Quotients of affine spaces for actions of reductive groups

Mihai Halic|ArXiv.org|Dec 14, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、再帰的群が正規アフィン多様体に作用する場合の、実的特徴格子上にGIT-ファン構造を確立し、幾何的不変理論を用いてすべての可能な不変商をパラメトライズする。また、このような商のチャウ環が、不安定成分を含む不変チャウ環と同型であることを証明し、特徴が正の整数のとき、Spec ℤ 上の平坦な族を用いてコhomological消失定理を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study actions of reductive groups on affine spaces. We prove that there is a fan structure on the space of characters of the group, which parameterizes the possible invariant quotients. In the second half of the paper we study various geometrical properties of the quotients: we compute their Chow ring and the cohomology ring (in case we work over the complex numbers), both with rational coefficients. Actually, the cycle map turns out to be an isomorphism. Further, we construct families of such quotients over reduced base schemes, and compute again the Chow and the cohomology rings. Finally, we prove the vanishing of the higher cohomology groups of nef line bundles on the geometric quotients that we obtain.

研究の動機と目的

• アフィン空間上の再帰的群作用における不変商の構造を理解すること。
• 特徴格子上にファン構造を用いて、すべての可能なGIT商をパラメトライズする空間を特定すること。
• このような商のチャウ環を計算し、不変チャウ環および不安定成分と関連付けること。
• 整数的モデルを用いて、ネフ線束に対するコhomological消失結果を正の特徴に拡張すること。
• 幾何的商のピカール群およびアーマーconeが、コディメンジョンの条件下で良好に振る舞うことを証明すること。

提案手法

• Ressayreの結果を用いて問題を射影的ケースに還元し、実的特徴空間上にGIT-ファンを構成する。
• Grothendieck-Serre対応およびHochster-Roberts定理を適用して、Cohen-Macaulay性およびコhomological消失を確立する。
• Spec ℤ 上の平坦な族を用いて、特徴が0のコhomological結果を正の特徴に拡張する。
• 射影的バンドル上の線束のコホモロジーを計算するために、射影公式およびLerayスペクトル系列を用いる。
• 相対双対性およびモノドロミー技法を適用して、線束の負のベキに対する消失を導出する。
• ネフ線束が特徴から生じ、十分大きな倍数で全的に生成されることを用いて、コホモロジー計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群作用が正規アフィン多様体に作用する場合、GIT同値類の空間は、実数的特徴格子上に有理的多面体的ファンとして記述可能か？
• RQ2 商多様体 ${\mathbb{V}}{/{\kern-2.79857pt/}}_{\chi}G$ の有理チャウ環は、不変チャウ環および不安定成分とどのように関係するか？
• RQ3 どのような条件下で、このような商におけるネフ線束の高次コホモロジー群が正の特徴において消失するか？
• RQ4 整数的モデルを用いて、特徴が0における商のコホモロジー的性質を正の特徴に拡張可能か？
• RQ5 商のチャウ環は、群表現から誘導される自然なベクトルバンドルのチャーン類によって生成されるか？

主な発見

• ${\mathcal{X}^{*}(G)}_{\mathbb{R}}$ 内のGIT同値類は、有理的多面体的ファン $\Delta^G(X)$ の相対的内部のコーンとして形成され、これをGIT-ファンと呼ぶ。
• ${\mathbb{V}}{/{\kern-2.79857pt/}}_{\chi}G$ の有理チャウ環は、$(T,\chi)$-不安定成分の類が生成するイデアルによる商と同型である。
• 底体が $\mathbb{C}$ で商が射影的であるとき、コホモロジー環はチャウ環と同型である。
• ${\mathbb{V}}{/{\kern-2.79857pt/}}_{\chi}G$ 上の任意のネフ線束 $\mathcal{L}$ に対して、特徴がGITチャネルにのみ依存する素数 $p(\chi)$ より大きい場合、高次コホモロジー群は消失する。
• 特徴が0のとき、同じコディメンジョンおよび安定性の仮定の下で、不変環が自明な滑らかなアフィン多様体の商に対しても、同様の消失が成り立つ。
• ピカール群は特徴群 $\mathcal{X}^{*}(G)$ に単射であり、アーマーconeはGIT-ファン構造によって記述される。