[論文レビュー] Quotients of products of curves, new surfaces with $p_g=0$ and their fundamental groups

Ingrid Bauer, Fabrizio Catanese+2 more|ArXiv.org|Sep 19, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、有限群作用による曲線積の商として、$p_g = 0$ である一般型の曲面19族を構成し、その基本群の明示的記述と特異な正則 canonical モデルの分類を提供する。主な貢献は、このような商の基本群に関する構造定理であり、モジュライ空間の連結成分を区別し、アーベルでなく、可解でもない群を含む、以前に知られていなかった基本群を持つ新しい例を生み出す。

ABSTRACT

The first main purpose of this paper is to contribute to the existing knowledge about the complex projective surfaces $S$ of general type with $p_g(S) = 0$ and their moduli spaces, constructing 19 new families of such surfaces with hitherto unknown fundamental groups. We also provide a table containing all the known such surfaces with K^2 <=7. Our second main purpose is to describe in greater generality the fundamental groups of smooth projective varieties which occur as the minimal resolutions of the quotient of a product of curves by the action of a finite group. We classify, in the two dimensional case, all the surfaces with q=p_g = 0 obtained as the minimal resolution of such a quotient, having rational double points as singularities. We show that all these surfaces give evidence to the Bloch conjecture.

研究の動機と目的

• 既知の族を拡張し、$p_g = 0$ で $K^2 \neq 9$ である新しい最小一般型曲面を構成すること。
• 正則 canonical モデルが特異であるようなすべてのこのような曲面を分類し、以前の研究で始まった分類を完了すること。
• 有限群作用による曲線積の商の基本群に関する構造定理を提供すること。
• 新しい基本群を用いて、一般型曲面のモジュライ空間の連結成分を同定・区別すること。
• Kimuraの理論と先行研究の結果を用いて、$p_g = q = 0$ の40族以上の曲面に対してBlochの予想を検証すること。

提案手法

• 著者たちは、2つの滑らかなか曲線 $C_1 \times C_2$ における有限群作用を用いて、$p_g = 0$ である曲面 $X = (C_1 \times C_2)/G$ を構成する。
• 群作用と曲線の基本群に依存する基本群 $\pi_1(X)$ の構造定理を確立する。
• 分類は、特に有理二重特異点である canonical モデルの特異点とその解消に依存する。
• 方法には、ガロア被覆構造を介した基本群の計算と、モノドロミーとブレード関係を含む群論的データの使用が含まれる。
• 著者たちは、生成元を対称群や他の有限群内の要素へ写像する明示的群表示と準同型を用いる。
• 著者たちは、Kimuraのモチーフ論とCataneseらの研究の結果を応用し、構成された族に対してBlochの予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 canonical モデルに有理二重特異点をもつとき、有限群作用による曲線積の商の基本群は何か？
• RQ2 どの有限群 $G$ が $p_g = 0$ で $K^2 \leq 7$ である曲面 $X = (C_1 \times C_2)/G$ を与えるか？
• RQ3 このような商の基本群を体系的に計算・分類する方法は何か？
• RQ4 これらの構成は、$p_g = 0$ である一般型曲面のモジュライ空間における新しい連結成分を生じるか？
• RQ5 これらの曲面のうち、Blochの予想が成り立つのは何例か？そして、モチーフ的・コホノロジー的データからの証拠は何か？

主な発見

• 本稿では、$p_g = 0$、$K^2 = 1$ から $6$ の間の、以前に知られていなかった基本群をもつ、最小一般型曲面19族を構成した。
• 曲面 $X = (C_1 \times C_2)/G$ の基本群は、群 $G$ と被覆のモノドロミーに依存する構造定理により計算された。
• $K^2 = 6$ の場合、Galois群が $PSL(2,7)$ で基本群が $\mathfrak{A}_4 \times \mathbb{Z}_7$ の2つの異なる族と、Galois群が $\mathfrak{A}_5$ で $\pi_1 \cong \mathbb{Z}^2 \rtimes_\varphi \mathbb{Z}_{15}$ の1つの族が提示された。
• Galois群が $\mathfrak{S}_4 \times \mathbb{Z}_2$ の族は、4つの生成元と非アーベル関係を含む複雑な表示を持つ基本群をもつ。
• Galois群が $D_4 \times \mathbb{Z}_2$ の別の族は、4つの生成元と非アーベル構造を符号化する関係を含む表示を持つ基本群を有する。
• 本稿では、$p_g = q = 0$ の40族以上の曲面に対してBlochの予想を、モチーフ的・コホノロジー的技法を用いて確認した。