[論文レビュー] Quotients of Tannakian Categories

J. S. Milne|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、tannakian圏のtannakian部分圏による商を分類し、その商が存在するための必要十分条件として、部分圏が中立的であること（neutral）であることを示している。このとき、商は部分圏上のk-値ファイバー関手によってパラメトライズされる。主な貢献は、ファイバー関手と基本群を用いた商圏の特徴付けであり、tensor圏におけるtannakian双対性を商構成へと拡張している。

ABSTRACT

We classify the "quotients" of a tannakian category in which the objects of a tannakian subcategory become trivial, and we examine the properties of such quotient categories.

研究の動機と目的

• tannakian圏Tのtannakian部分圏Sによる商をなす完全なテンソル関手q: T → Qを分類すること。このとき、Sに属する対象はQにおいて自明になる。
• このような商関手が存在する条件を特定すること、特に部分圏Sの中立性（neutrality）との関係を明らかにすること。
• 得られる商圏Qの基本群、ファイバー関手、および極化を分析すること。
• 基本群π(T)の部分群とtannakian部分圏の間の対応関係を、tannakian対応を通じて確立すること。
• 特にモチーフや代数幾何学の文脈において、tannakian双対性を商構成へと拡張すること。

提案手法

• tannakian部分圏と基本群π(T)の部分群の間のtannakian対応を利用する。
• gerbeとbandの理論を用いて、ファイバー関手およびその上への持ち上げを分析する。特に、ファイバー関手gerbe FIB(T)を用いる。
• 基本群π(T)をTにおけるアフィン群スケームとみなす。このとき、ω(π(T)) ≃ Aut⊗(ω) がωに関して自然に成り立つ。
• q: T → Q である商関手を、核条件によって特徴付ける：Sに属する対象がQにおいて自明になるための必要十分条件は、qのもとでそれらが自明化されることである。
• gerbeの準同型に関連するbandの完全列を用いて、(ω₀↓G₁)の構造とtannakian性を分析する。
• 特にTate三つ組の文脈において、実代数群の非等方性（anisotropy）を用いた、階数付き極化の存在基準を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でtannakian圏は、そのtannakian部分圏Sによる商をもつのか。このとき、Sに属する対象は商において自明になる。
• RQ2 このような商関手が存在する場合、それらはどのように分類されるか。
• RQ3 基本群π(T)の部分群とtannakian部分圏Tの間にはどのような関係があるか。
• RQ4 Tate三つ組Tに定義された階数付き極化Πが、商圏Qに極化Π′へと持ち上がる条件は何か。
• RQ5 商圏Qの基本群およびファイバー関手は、元の圏Tのそれらとどのように関係するか。

主な発見

• 商関手q: T → Q が条件(a)および(b)を満たすのは、tannakian部分圏Sが中立的（neutral）であるとき、かつそのときに限る。
• Sが中立的であるとき、このような商関手qの集合は、S上のk-値ファイバー関手の集合と一対一対応する。
• 商圏Qの基本群π(Q)は、π(q): π(T) → π(Q) による写像の像に同型であり、H ⊂ π(T) に対してπ(Q)はq(H)に同型に写像される。
• Q上のファイバー関手は、qに沿ったT上のファイバー関手の引き戻しによって決定され、Qのbandはgerbe (ω₀↓G₁) に関連するbandの完全列から導かれる。
• T上の階数付き極化ΠがQ上の極化Π′に持ち上がるための必要十分条件は、ファイバー関手ωΠのSへの制限が、商に関連するファイバー関手ωqに同型であることである。
• Qに極化が存在することは、Qが半単純でH ⊃ w(Gm)であるとき、群Aut⊗(γV ◦ξΠ′ ◦q|Tw(Gm)) の実代数群の非等方性と同値である。