[論文レビュー] Quotients of the Artin braid groups and crystallographic groups

Daciberg Lima Gonçalves, John Guaschi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$B_n/[P_n, P_n]$ が $n \geq 3$ に対して結晶群であることを示し、奇数位のねじれのみを有する。商における有限位の元の共役類と $S_n$ における奇数位の元の共役類との間に一対一対応を確立し、すべての $n \geq 7$ に対して位数21のフロベニウス群が $B_n/[P_n, P_n]$ に埋め込まれることを証明し、奇数位の部分群の実現を完全に特徴づけた。

ABSTRACT

Let n be greater than or equal to 3. We study the quotient group B\_n/[P n,P\_n] of the Artin braid group B\_n by the commutator subgroup of its pure Artin braid group P\_n. We show that B\_n/[P n,P\_n] is a crystallographic group, and in the case n=3, we analyse explicitly some of its subgroups. We also prove that B\_n/[P n,P\_n] possesses torsion, and we show that there is a one-to-one correspondence between the conjugacy classes of the finite-order elements of B\_n/[P n,P\_n] with the conjugacy classes of the elements of odd order of the symmetric group S\_n, and that the isomorphism class of any Abelian subgroup of odd order of S\_n is realised by a subgroup of B\_n/[P n,P\_n]. Finally, we discuss the realisation of non-Abelian subgroups of S\_n of odd order as subgroups of B\_n/[P n,P\_n], and we show that the Frobenius group of order 21, which is the smallest non-Abelian group of odd order, embeds in B\_n/[P n,P\_n] for all n greater than or equal to 7.

研究の動機と目的

• Artinのブレード群の純ブレード群の交換子部分群による商 $B_n/[P_n, P_n]$ の代数的構造を分析すること。
• $B_n/[P_n, P_n]$ に有限位の元が奇数位に制限されるかどうかを特定し、その共役類を分類すること。
• $B_n/[P_n, P_n]$ の部分群として奇数位の有限群（特に非アーベル群）が実現可能かどうかを調査すること。
• $S_n$ における奇数位の元の共役類と $B_n/[P_n, P_n]$ におけるそれらの共役類との正確な対応関係を確立すること。
• すべての $n \geq 7$ に対して位数21のフロベニウス群が $B_n/[P_n, P_n]$ に埋め込まれることを証明し、他の非アーベル奇数位群の実現可能性を検討すること。

提案手法

• $B_n/[P_n, P_n]$ が結晶群であることを示すために、短完全列 $1 \to \mathbb{Z}^{n(n-1)/2} \to B_n/[P_n, P_n] \to S_n \to 1$ を用いる。
• $S_n$ が $P_n/[P_n, P_n] \cong \mathbb{Z}^{n(n-1)/2}$ に作用する様子を分析し、群の拡大構造を特定する。
• $P_n/[P_n, P_n]$ の基底 $\{A_{i,j}\}$ に沿った $\alpha_{0,r}$ の誘導作用を研究し、ねじれおよび軌道構造を分析する。
• $B_n/[P_n, P_n]$ に位数 $n$ の元が存在するための条件を表す線形方程式系（例：式 (52) および (53)）を構成する。
• group-theoretic techniques および表現論を用い、$A_7$ の最大部分群の分類を活用して、非アーベル奇数位部分群の実現可能性を特定する。
• $B_n/[P_n, P_n] \cong PS_n$ などの既知の同型を活用し、擬対称なブレード的圏および強化された対称群に関する結果と接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $B_n/[P_n, P_n]$ は結晶群か？ その幾何学的・代数的構造は何か？
• RQ2 $B_n/[P_n, P_n]$ に偶数位の元が存在するか、それともねじれは奇数位に制限されるか？
• RQ3 $B_n/[P_n, P_n]$ における有限位の元の共役類と $S_n$ における奇数位の元の共役類との間に一対一対応があるか？
• RQ4 $B_n/[P_n, P_n]$ の部分群として実現可能な奇数位の有限群はどれか？
• RQ5 すべての $n \geq 7$ に対して、位数21のフロベニウス群が $B_n/[P_n, P_n]$ に埋め込まれるか？ また、それがこの商において実現可能な最小の非アーベル奇数位群であるか？

主な発見

• $B_n/[P_n, P_n]$ はすべての $n \geq 3$ に対して結晶群であり、短完全列 $1 \to \mathbb{Z}^{n(n-1)/2} \to B_n/[P_n, P_n] \to S_n \to 1$ を持つ。
• $B_n/[P_n, P_n]$ には偶数位の元が存在せず、すべてのねじれは奇数位である。
• $B_n/[P_n, P_n]$ における有限位の元の共役類と $S_n$ における奇数位の元の共役類との間に一対一対応があり、その対応は位数を保存する。
• $S_n$ における奇数位のアーベル部分群の同型類は、すべて $B_n/[P_n, P_n]$ の部分群として実現される。
• すべての $n \geq 7$ に対して、位数21のフロベニウス群は $B_n/[P_n, P_n]$ に埋め込まれ、これはこの商において実現可能な最小の非アーベル奇数位群である。
• $n \geq 7$ に対して、$B_n/[P_n, P_n]$ に位数 $n$ の元が存在することは、$\mathbb{Z}$ 上の線形方程式系の可解性と同値であり、このような元は無限に多く存在する。